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https://doi.org/10.11588/diglit.43640#0007
Über die Berechnung von Orthogonen der hyperbolischen Ebene
7
von Nr N2 uqx + vQy — 1 =0 ist, und bedient man sich andererseits
der Inzidenzbedingung upr' + + y' — 1 =0, so erhält man endlich:
1 — xx0 — yyQ
t l) Ci = — -- ■' - .
j/(l - xxQ - y'ytf - (1 - x'* - y^ (1 -
Durch den Vergleich mit der Formel (5), die jetzt für r statt für r
geschrieben werden muß, kommt endlich die gesuchte Beziehung
(6) th r — cth a
hervor, woraus weiter:
- 1 - 1
(7) shr= — cha, ehr = .-sha
folgt, also für die Argumente selbst:
Die Gleichungen (2) und (3) wie auch (6) und (7) findet man
in der oben erwähnten Arbeit des Herrn Roeser, entwickelt für
einen speziellen Fall; unser Verfahren gilt dagegen ganz allgemein.
Herr Roeser hat aber in einer neueren Abhandlung7) eine Ver-
anschaulichung der beiden Formeln (4) und (8) gegeben, durch die
der innere, geometrische, Zusammenhang der betreffenden Größen
aufgedeckt wird.
4. Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun zeigen, wie
man die gefundenen Beziehungen, die die Orthogonalisation 2. Art
analytisch darstellen, für die Ableitung von Vielecksformeln ver-
wenden kann.
Zunächst eine allgemeine Bemerkung. Die Seiten und Winkel
werden in den Formeln nicht als solche auftreten, sondern nur als
Argumente gewisser Funktionen (hyperbolischer für die Seiten,
zirkularer für die Winkel). Im folgenden werden wir uns auf die
Formeln beschränken, in die diese Funktionen rational eingehen,
und zwar soll die Anzahl der vorkommenden Polygonstücke 5+1
sein, wo 5 wie bisher die Anzahl der Bestimmungsstücke des be-
treffenden Vielecks bedeutet.
Die Formeln für die Vielecke der ersten Schar (Zc = l = 1)
und ihre gegenseitigen Beziehungen sind teils schon längst bekannt,
teils durch Herrn Roesers Arbeit über die komplementären Figuren
7) Vgl. E. Roeser, Polare Figuren in der hyperbolischen Ebene, Jahresber.
der deutschen Math.-Ver., 40, 1931.
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von Nr N2 uqx + vQy — 1 =0 ist, und bedient man sich andererseits
der Inzidenzbedingung upr' + + y' — 1 =0, so erhält man endlich:
1 — xx0 — yyQ
t l) Ci = — -- ■' - .
j/(l - xxQ - y'ytf - (1 - x'* - y^ (1 -
Durch den Vergleich mit der Formel (5), die jetzt für r statt für r
geschrieben werden muß, kommt endlich die gesuchte Beziehung
(6) th r — cth a
hervor, woraus weiter:
- 1 - 1
(7) shr= — cha, ehr = .-sha
folgt, also für die Argumente selbst:
Die Gleichungen (2) und (3) wie auch (6) und (7) findet man
in der oben erwähnten Arbeit des Herrn Roeser, entwickelt für
einen speziellen Fall; unser Verfahren gilt dagegen ganz allgemein.
Herr Roeser hat aber in einer neueren Abhandlung7) eine Ver-
anschaulichung der beiden Formeln (4) und (8) gegeben, durch die
der innere, geometrische, Zusammenhang der betreffenden Größen
aufgedeckt wird.
4. Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun zeigen, wie
man die gefundenen Beziehungen, die die Orthogonalisation 2. Art
analytisch darstellen, für die Ableitung von Vielecksformeln ver-
wenden kann.
Zunächst eine allgemeine Bemerkung. Die Seiten und Winkel
werden in den Formeln nicht als solche auftreten, sondern nur als
Argumente gewisser Funktionen (hyperbolischer für die Seiten,
zirkularer für die Winkel). Im folgenden werden wir uns auf die
Formeln beschränken, in die diese Funktionen rational eingehen,
und zwar soll die Anzahl der vorkommenden Polygonstücke 5+1
sein, wo 5 wie bisher die Anzahl der Bestimmungsstücke des be-
treffenden Vielecks bedeutet.
Die Formeln für die Vielecke der ersten Schar (Zc = l = 1)
und ihre gegenseitigen Beziehungen sind teils schon längst bekannt,
teils durch Herrn Roesers Arbeit über die komplementären Figuren
7) Vgl. E. Roeser, Polare Figuren in der hyperbolischen Ebene, Jahresber.
der deutschen Math.-Ver., 40, 1931.