Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Gustav Doetsch:

0 * Z.(y> 0 = — %M+V_i(x + y, 0
(F, v A 0, /z + v V 1; x,y, t > 0). 2)
Das ist ein transzendentes Additionstheorem sowohl hinsichtlich
der Variablen x als des Parameters /z. Setzt man
- Z„+i(A 0 = 0 =-^G+ifV) A«,
/ot2'‘+1(2+1
so gewinnt es die noch glattere Gestalt:
(!) 0 * (?/, 0 = ®tl+v (^ + y, t)
(/z, t1, /z + v A — 1; x, y, t > 0).
Die Funktionen — zA(+1 (^, 0 sind gewiß nicht die einzigen, die
diesem Additionstheorem genügen, denn z. B. die Schar y(x + t)
tut es nach Cesaro auch. Herr Wilhelm Maier (z. Z. Lafayette),
der sich eingehend mit der Aufgabe beschäftigt, Scharen von Trans-
zendenten (statt, wie sonst üblich, durch differentielle Eigenschaften)
durch Integralgleichungen zu kennzeichnen, hat die Frage aufge-
worfen, ob die 0/£(x, t) vielleicht eindeutig charakterisiert sind,
wenn man zu (I) noch die Bedingung hinzunimmt, daß die Lösung
die lineare Argumenttransformation
(II) oc^Q^ocx, oc2t) = 0z<(x, t) (a > 0)
zuläßt, was ja für 0/( = — % +1 sicher erfüllt ist.
Ich werde zeigen, daß hierdurch die tatsächlich bis auf
triviale Faktoren bestimmt sind, wenn man noch voraussetzt, daß
sie für too nicht stärker als eine Exponentialfunktion wachsen:
(III) | 0/;(^, t) | < ekt für t > 71,
wobei k und T von /z und x abhängen können.
Das Ergebnis wird lauten:
y Zi
%2n= *2n+i = VF- Für Funktionen> die wie X und Z1 mit ihren
sämtlichen Ableitungen für t 0 gegen 0 streben, kann man, wie ich in der
Arbeit: Probleme aus der Theorie der Wärmeleitung, V. Mitteilung. Math.
Zeitschr. 28 (1928) S. 567—578 [S. 570—573] auseinandergesetzt habe, in
besonders einleuchtender Weise Ableitungen nichtganzer Ordnung einführen.
Man könnte auf diese Weise die und damit auch die HERMiTEschen Poly-
nome sogar für nichtganze y, definieren. Die folgenden Entwicklungen
würden auch für diese allgemeinere Schar Gültigkeit behalten.
2) Im Hinblick auf das Folgende ist zu betonen, daß die Relation für
x — 0 oder y = 0 nicht immer richtig bleiben würde, obwohl beide Seiten ihren
Sinn behalten, z. B. wenn y ungerade, v gerade, x — 0, y > 0 ist.