Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Gustav Do etsch:

x = 0, y = 0 zugelassen wären. Dann würde man so schließen:
Für x = y = 0 ergibt sich:
+ ys (0, r) = ys(°, V + *>),
also, da /x und v nur ganzzahlige Werte annehmen, bekanntlich
ohne jede weitere Voraussetzung: ys(0, /z) = gs • /z, wo gs eine von
5 abhängige Konstante ist. Für y, = v = 0 dagegen erhalten wir:
0) + ys(y, 0) = ys(x + y, 0).
Nun folgt aber aus (Ila), wenn 5“ durch <x2s ersetzt wird:
5) = o^y^x, oc2s).
Aus dieser Gleichung ersieht man, daß 92^(2, s) bei festem /z und v
stetig in x ist, denn der Übergang von x in den Nachbarwert ocx
(a nahe an 1) bewirkt eine Änderung von y^x, s) iR ^V^x, °^s)i
was einen Nachbarwert von cp^x^s) darstellt, da eine Laplace-
Transformierte bekanntlich in 5 stetig (sogar analytisch) ist. Also
ist auch ys(x, y) in x stetig, folglich muß nach Cauchy ys(x, 0) = fyz
sein, wo fs eine von 5 abhängige Konstante ist. Nun gilt aber nach
(Ib):
ys(^, 0) + A) = 1
also
Ys(x, = fsx + gsA-
Da die Werte x = 0, y = 0 jedoch nicht verwandt werden
dürfen, so müssen wir einen etwas umständlicheren Weg einschlagen.
Setzen wir x = z/z, y = zr, wo z eine beliebige reelle Zahl > 0
und ^u, v ganzzahlig > 0 ist, so liefert (Ib):
A) + v) = + v), + v);
folglich muß
ys(zA, a) = MÜ ' A
sein. Ferner folgt ebenfalls aus (Ib) für geradzahliges /x > 0 und
beliebige z1? z2 > 0:


Diese Gleichung addieren wir zu sich selbst und beachten, daß.


Z.ÜA, A)

ist. Dann steht da:
/Z^ d- ^2
ThÜi A> a) + 9AÜ2 A, a) = 2V (—2—
oder nach Division durch 2/z: