Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

6. ist 21 eine endliche zyklische Gruppe, so läßt sich jede situa-
tionstreue Abbildung von 21 zu einem Isomorphismus erweitern * * 6).
3.7) Die Struktur einer Hamiltonschen Gruppe 8) mit endlich
viel Erzeugenden ist durch die Situation der Untergruppen bestimmt.
Dem Beweise schicken wir einige Hilfssätze voraus:
1. Ist 21 eine Hamiltonsche Gruppe, so hat jedes Element von 21
endliche Ordnung.
Ist nämlich a ein nicht dem Zentrum von 21 angehöriges Ele-
ment, so gibt es ein mit a nicht vertauschbares Element b, und es
ist b a b_1 = mit m =h 1, da die zyklische Gruppe (a) Normal-
teiler von 21 ist. Weiter müssen die Zyklen (a) und (b) ein von 1
verschiedenes Element gemein haben, da sonst a mit b vertauschbar
wäre. Ist dies etwa an (n =j= 0, n 4= 1), so ist a” mit b vertauschbar
und es gilt also:
an = ba”b_1 = (bab“])n = aMM,
d. h. aw(m—R — 1, woraus wegen n =|= 0, =h 1 folgt, daß a endliche
Ordnung hat.
Ist aber a ein Element aus dem Zentrum von 21, so seien b
und c irgend zwei miteinander nicht vertauschbare Elemente aus
21. Dann haben b' und c endliche Ordnung, und es wird
c a b c_1 = (ab)r mit [wie oben]
= cb c_1a =bsa, also
bsa = (ab)’’ = aHE oder a’’_1 = bs_r, d. h. a hat endliche Ordnung,
da b endliche Ordnung hat.
2. Jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe G, deren
sämtliche Elemente die Ordnung 2 haben, ist direkter Faktor
von G 9).
Dies folgt durch transfmite Induktion sofort aus der Tatsache,
daß eine zyklische Untergruppe von G mit einer anderen Unter-
gruppe entweder nur die 1 oder alle Elemente gemein hat.
3. Ist § eine Hamiltonsche Gruppe, so ist in = D X ® X II,
wo D eine Quaternionengruppe ist, während ® und IX kommu-
situationstreue Abbildung von & zu einem Isomorphismus erweitern läßt,
ohne daß dasselbe für das direkte Produkt gilt.
6) Einen Beweis dieses Satzes findet man bei R., S. 643.
7) Sätze und Beweise von 3. verdanke ich B. Furkert und H. Liermann.
8) D. i. eine nichtkommutative Gruppe, deren sämtliche Untergruppen
Normalteiler sind.
9) Satz und Beweis gelten auch, wenn an die Stelle von 2 irgendeine Prim-
zahl tritt.