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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0024
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Wolgäng Krull:
lieh viele Transformationen (2) in ein Primhauptideal (7) über-
geführt werden kann, für das (7, . qxJ = iß wird, d. h.: Hat
eine n-l-dimensionale Fläche im Endlichen nur endlich viele singu-
läre Punkte, so läßt sie sich stets in eine neue Fläche transformieren,
die im Endlichen überhaupt singularitätenfrei ist. — Auf Grund
dieses Resultats kann aber Schmeidler alle im zweidimensionalen
gewonnenen Ergebnisse aufs n-dimensionale übertragen. Indessen
ist die Beschränkung für die Menge der zulässigen Primhauptideale
außerordentlich stark, und nur dadurch zu rechtfertigen, daß sie
die gleichzeitige Auflösung aller im Endlichen liegenden Singulari-
täten ermöglicht. Man wird sich aber bei der gleichzeitigen Be-
trachtung aller Singularitäten i. a. nicht auf den affinen, sondern
auf den projektiven Standpunkt stellen; man wird also auch die
Berücksichtigung der im Unendlichfernen liegenden Singuläritäten
fordern, die durch Einführung der homogenen Schreibweise oder
durch linear gebrochene Transformationen erfaßt werden müssen.
In dieser Hinsicht versagen aber die Transformationen des Typus (2),
denn sie besitzen, wie man schon am zweidimensionalen Fall er-
kennt, die Eigenschaft, im Unendlichen stets neue, und zwar im
Sinne der Singularitätentheorie komplizierte Singularitäten zu
schaffen. Schmeidler selbst erklärt in Übereinstimmung mit dieser
Tatsache, daß seine Untersuchungen ausschließlich in den Rahmen
einer ,,affin-rationalen“ Geometrie gehören.
Indessen ändert sich das Bild, wenn man auf die gleichzeitige
Betrachtung aller im Endlichen liegenden Singularitäten verzichtet
und die Transformationen (2) zum Studium der verschiedenen
Einzelsingularitäten6) benützt. Es gelingt dann der Nachweis, daß
die Singularitätengruppen im wesentlichen den Charakter von
projektiven (wenn auch natürlich nicht birationalen) Invarianten
tragen, und man kann sich von der lästigen Beschränkung auf
Flächen mit nur endlich vielen Punktsingularitäten weitgehend
frei machen. Dabei braucht man nur einige einfache und der mo-
dernen Algebra durchaus geläufige Hilfsüberlegungen, die im fol-
genden kurz angedeutet werden sollen.
Es sei (p) ein beliebiges Primhauptideal im Polynomring
$ = ^0[^, . . . O, c = (p, pXi, . • ■ Aj sei das zugehörige Sin-
gularitätenideal. Dann läßt sich c als Durchschnitt von Primär-
6) Von einer Einzelsingularität darf man stets annehmen, daß sie im
Endlichen liegt. Hier ist also auch im Rahmen der projektiven Geometrie das
inhomogene Arbeiten ohne weiteres erlaubt.
Wolgäng Krull:
lieh viele Transformationen (2) in ein Primhauptideal (7) über-
geführt werden kann, für das (7, . qxJ = iß wird, d. h.: Hat
eine n-l-dimensionale Fläche im Endlichen nur endlich viele singu-
läre Punkte, so läßt sie sich stets in eine neue Fläche transformieren,
die im Endlichen überhaupt singularitätenfrei ist. — Auf Grund
dieses Resultats kann aber Schmeidler alle im zweidimensionalen
gewonnenen Ergebnisse aufs n-dimensionale übertragen. Indessen
ist die Beschränkung für die Menge der zulässigen Primhauptideale
außerordentlich stark, und nur dadurch zu rechtfertigen, daß sie
die gleichzeitige Auflösung aller im Endlichen liegenden Singulari-
täten ermöglicht. Man wird sich aber bei der gleichzeitigen Be-
trachtung aller Singularitäten i. a. nicht auf den affinen, sondern
auf den projektiven Standpunkt stellen; man wird also auch die
Berücksichtigung der im Unendlichfernen liegenden Singuläritäten
fordern, die durch Einführung der homogenen Schreibweise oder
durch linear gebrochene Transformationen erfaßt werden müssen.
In dieser Hinsicht versagen aber die Transformationen des Typus (2),
denn sie besitzen, wie man schon am zweidimensionalen Fall er-
kennt, die Eigenschaft, im Unendlichen stets neue, und zwar im
Sinne der Singularitätentheorie komplizierte Singularitäten zu
schaffen. Schmeidler selbst erklärt in Übereinstimmung mit dieser
Tatsache, daß seine Untersuchungen ausschließlich in den Rahmen
einer ,,affin-rationalen“ Geometrie gehören.
Indessen ändert sich das Bild, wenn man auf die gleichzeitige
Betrachtung aller im Endlichen liegenden Singularitäten verzichtet
und die Transformationen (2) zum Studium der verschiedenen
Einzelsingularitäten6) benützt. Es gelingt dann der Nachweis, daß
die Singularitätengruppen im wesentlichen den Charakter von
projektiven (wenn auch natürlich nicht birationalen) Invarianten
tragen, und man kann sich von der lästigen Beschränkung auf
Flächen mit nur endlich vielen Punktsingularitäten weitgehend
frei machen. Dabei braucht man nur einige einfache und der mo-
dernen Algebra durchaus geläufige Hilfsüberlegungen, die im fol-
genden kurz angedeutet werden sollen.
Es sei (p) ein beliebiges Primhauptideal im Polynomring
$ = ^0[^, . . . O, c = (p, pXi, . • ■ Aj sei das zugehörige Sin-
gularitätenideal. Dann läßt sich c als Durchschnitt von Primär-
6) Von einer Einzelsingularität darf man stets annehmen, daß sie im
Endlichen liegt. Hier ist also auch im Rahmen der projektiven Geometrie das
inhomogene Arbeiten ohne weiteres erlaubt.