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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0025
Bemerkungen zur algebraischen Geometrie.
25
Idealen darstellen, c = qr ~ ~ q und im Falle einer ,,kürzesten“
Darstellung ist die Gesamtschar S der zu den q£ gehörigen Prim-
ideale h; eindeutig bestimmt. ■ Die bi sollen kurz als „wesentliche“
Singularitätenmannigfaltigkeiten von (p) bezeichnet werden; ein
zu dem es in S kein echtes Vielfaches gibt, (also ein im mengen-
theoretischen Sinne minimaler Primidealteiler von c), möge „nicht-
eingebettete1'1 Singularitätenmannigfaltigkeit heißen.
Will man (p) nur längs einer bestimmten irreduziblen Mannig-
faltigkeit untersuchen, so geht man zweckmäßig vom Polynomring
iß zu dem Quotientenring ißp über, der aus allen den rationalen
Funktionen — besteht, bei denen der Nenner q durch das Primideal
b unteilbar ist. Ersetzt man dementsprechend alle Ideale aus iß
durch ihre Erweiterungsideale in ißp (was durch Anhängung des
Index ß angedeutet werden möge), so gehen, um es kurz und an-
schaulich auszudrücken, alle und nur die Primärkomponenten
verloren, deren zugehöriges Primideal durch ß unteilbar ist; im
übrigen ändert sich nichts wesentliches.
Als Restgruppe r bzw. Singularitätengruppe c des Primhaupt-
ideals (p) bezeichnet Schmeidler die Restklassenringe iß | (p) bzw.
Iß i c. Dementsprechend versteht man zweckmäßig unter der
„Restgruppe rp bzw. der Singularitätengruppe cp von (p) in der Mannig-
faltigkeit ß“ die Restklassenringe ißp | (p)p hzw. ißp ( Cp. Es gelingt
dann die Übertragung des grundlegenden, von Schmeidler für f
und c aufgestellten Isomorphiesatzes:
Sind für zwei Primhauptideale (p(1)) und (p(2)) die Restgruppen
fp) und rp2) isomorph, so gilt das gleiche für die Singularitätengruppen
'C(px) und cp2).
Der Reweis kann im wesentlichen von Schmeidler übernommen
werden; die Tatsache, daß mit rationalen Funktionen anstatt mit
Polynomen gerechnet werden muß, bedeutet keine nennenswerte
Erschwerung. Der Isomorphiesatz ermöglicht folgende Definition:
Die Primhauptideale (p(1)) und (p^) besitzen längs der Mannig-
faltigkeit ß denselben Singularitätentyp, wenn die Restgruppen fpx)
und fp2) isomorph sind.
Die abstrakte, d. h. nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte
Singularitätengruppe cp erscheint dann als charakteristische In-
variante des Singularitätentyps längs der Mannigfaltigkeit ß. We-
sentlich ist die Tatsache, daß der Singularitätentyp von (p) längs ß
nur von dem Verhalten von (p)p zu ißp nicht von dem von (p) zu iß
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Idealen darstellen, c = qr ~ ~ q und im Falle einer ,,kürzesten“
Darstellung ist die Gesamtschar S der zu den q£ gehörigen Prim-
ideale h; eindeutig bestimmt. ■ Die bi sollen kurz als „wesentliche“
Singularitätenmannigfaltigkeiten von (p) bezeichnet werden; ein
zu dem es in S kein echtes Vielfaches gibt, (also ein im mengen-
theoretischen Sinne minimaler Primidealteiler von c), möge „nicht-
eingebettete1'1 Singularitätenmannigfaltigkeit heißen.
Will man (p) nur längs einer bestimmten irreduziblen Mannig-
faltigkeit untersuchen, so geht man zweckmäßig vom Polynomring
iß zu dem Quotientenring ißp über, der aus allen den rationalen
Funktionen — besteht, bei denen der Nenner q durch das Primideal
b unteilbar ist. Ersetzt man dementsprechend alle Ideale aus iß
durch ihre Erweiterungsideale in ißp (was durch Anhängung des
Index ß angedeutet werden möge), so gehen, um es kurz und an-
schaulich auszudrücken, alle und nur die Primärkomponenten
verloren, deren zugehöriges Primideal durch ß unteilbar ist; im
übrigen ändert sich nichts wesentliches.
Als Restgruppe r bzw. Singularitätengruppe c des Primhaupt-
ideals (p) bezeichnet Schmeidler die Restklassenringe iß | (p) bzw.
Iß i c. Dementsprechend versteht man zweckmäßig unter der
„Restgruppe rp bzw. der Singularitätengruppe cp von (p) in der Mannig-
faltigkeit ß“ die Restklassenringe ißp | (p)p hzw. ißp ( Cp. Es gelingt
dann die Übertragung des grundlegenden, von Schmeidler für f
und c aufgestellten Isomorphiesatzes:
Sind für zwei Primhauptideale (p(1)) und (p(2)) die Restgruppen
fp) und rp2) isomorph, so gilt das gleiche für die Singularitätengruppen
'C(px) und cp2).
Der Reweis kann im wesentlichen von Schmeidler übernommen
werden; die Tatsache, daß mit rationalen Funktionen anstatt mit
Polynomen gerechnet werden muß, bedeutet keine nennenswerte
Erschwerung. Der Isomorphiesatz ermöglicht folgende Definition:
Die Primhauptideale (p(1)) und (p^) besitzen längs der Mannig-
faltigkeit ß denselben Singularitätentyp, wenn die Restgruppen fpx)
und fp2) isomorph sind.
Die abstrakte, d. h. nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte
Singularitätengruppe cp erscheint dann als charakteristische In-
variante des Singularitätentyps längs der Mannigfaltigkeit ß. We-
sentlich ist die Tatsache, daß der Singularitätentyp von (p) längs ß
nur von dem Verhalten von (p)p zu ißp nicht von dem von (p) zu iß