Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die diophantischen Gleichungen usw.

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wenigstens dafür, daß (2) aus (1) folgt; denn die Relation (1) läßt
sich auch so schreiben:
(6z)3 = (62 + ?/)3 — (y — 62)3
Diese Tatsache ist aber — das zu zeigen, ist das Hauptziel der vor-
stehenden Mitteilungen — nur ein Spezialfall des folgenden Äqui-
valenzsatzes (L), welcher das ganze Fermatsche Theorem genauer
gesagt die ganze Fermatsche Vermutung in Betracht zieht.
(L). Die Existenz einer Lösung der Gleichung
(4) z3 - t/2 = 33.22«-2.
in 3 ganz rationalen Zahlen x, y, z, von denen je 2 teilerfremd 3) sind,
ist' für jede natürliche Zahl n = 2,3... gleichbedeutend mit der
Existenz einer Lösung der Fermatschen Gleichung
(5) =
Die Gleichungen (4) und (5) sind also, als diophantische Gleichungen
aufgefaßt, äquivalent miteinander, insofern jede ,,teilerfremde“
Lösung der einen eine ebensolche der anderen nach sich zieht. In
dem besonderen Fall n = 3, und nur in diesem Fall, ist schon jede
rationale Lösung von (1), wie man unmittelbar sieht, identisch
mit einer ganz rationalen Lösung von (4), und somit, nach Satz (L),
mit einer ganz rationalen Lösung von (5).
Wenn die Behauptung des Satzes (L) bewiesen ist, so läßt sich
die Fermatsche Vermutung, die sich an die Gleichungen (5) knüpft,
so aussprechen:
Die Gleichungen
(6) 23 _ V2 = 33.22 . x2+2
sind für alle geraden Exponenten z A 4 unlösbar in ganz rationalen
Zahlen x, y, z, von denen je 2 teilerfremd sind.
Diese Aussage bedeutet zunächst nur eine Verschiebung der
Problemstellung Fermats nach einer solchen Richtung, in der ganz
andere Methoden in Betracht kommen als bei den Gleichungen (5),
und in der ja tatsächlich nicht wenig Literatur vorliegt, die nutz-
bar gemacht werden kann, nämlich über die diophantischen
Gleichungen z3 — y‘2 = c. Die Verschiebung ist aber nicht von der
Art, daß etwa eine kompliziertere, mehr fordernde Gleichung an die

3) Verzichtet man auf die Teilerfremdheit von z, y, so ist (4) stets lösbar.
Man kann z. B. von einer der beiden folgenden, sicher lösbaren diophantischen
Gleichungen ausgehen: zz2 + 3(3e)2 = w2 oder u2 4- 3(3 . 2 . p2)2 =w3, je nach-
dem n= 1(3) oder 2(3) ist. Im ersten Fall multipliziere man mit (2p)2n—2
im anderen Fall mit (2p)2n—4, um eine Lösung von (4) zu erhalten. Im Fall
n = 3 ist z = 12, y = 36, a? = 1 eine Lösung.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie 1933, 2. 3