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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0034
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H. Kapferer:
Stelle einer einfacheren getreten ist, wie es z. B. der Fall ist bei der
LEBESGUE’schen Gleichung 4)
rr2'1 + ?/2w = z2.
Jede nicht triviale Lösung der letzteren zieht eine Lösung der
Fermatschen Gleichung nach sich, aber nicht umgekehrt.
Dagegen für 2 = 2 ist (6) lösbar, sogar unendlich oft, und die
Gesamtheit ihrer Lösungen läßt sich explizite durch eine Formel
angeben. Dies folgt aus den Hilfssätzen I und II unmittelbar. Die
Lösung in kleinsten Zahlen ist diese:
4813 - 48792 = 108-604oder (13-37)3 - (7-17-41)2 = 33-22(3-4-5)4
Der Beweis der Behauptung (L) beruht in der Hauptsache auf der
eindeutigen Zerlegbarkeit der ganzen Zahlen des Körpers A(|/— 3)
in ein Produkt von unzerlegbaren Faktoren (abgesehen von Einheits-
faktoren). Auf diesem Fundamentalsatz im Körper 7^(|/— 3)
beruhen auch die beiden Hilfssätze, die wir hier vorausschicken:
Hilfssatz I.
Die Gleichung A2 + 3 B2 = C3 wird zu einer in r, s identisch
richtigen Gleichung, wenn man ansetzt:
A = t/(r, 5) h -§-(2r3 + 2s3 — 3r2s — 3rs2)
(7) B=F(r, s) % rs (r— s)
C = W(r, s) r2 — rs + s2
Die naturgemäße Erklärung, wie man zu dieser Identität gelangt,
geht hervor aus der Beweismethode des folgenden
Hilfssatz II.
Jedesmal, wenn die Gleichung A2 + 3B2 — C3 von 3 ganz
rationalen Zahlen A, B, C, von denen je 2 teilerfremd sind, und von
denen insbesondere B 0 (mod 3) ist, befriedigt wird, gibt es
2 ganz rationale Zahlen r, s, mit denen A, B, C in folgender Weise
verbunden sind:
A = U(r,s)-, B = Vir.s)- C = W(r,s)-
hierbei sind B, V, W die in (7) definierten Polynome in r, s.
Dieser Hilfssatz II, dessen Beweis unten folgt, sagt nun in
dem besonderen Fall B = 3 • 2n_1 • xn über alle etwa vorhandenen
Lösungen der diophantischen Gleichungen
z3 _ yz = 33 . 22’1-2 • x2n
Folgendes aus. Wenn rc, y, z zu je 2 teilerfremd sind, so muß es
4) Man vgl. „Note sur un theoreme de Fermat“, par M. Lebesgue,
Journal de Mathern., tome 5, (1840),.p. 184, sowie P. Bachmann „Das Fermat-
problem“ (1919), p. 11.
H. Kapferer:
Stelle einer einfacheren getreten ist, wie es z. B. der Fall ist bei der
LEBESGUE’schen Gleichung 4)
rr2'1 + ?/2w = z2.
Jede nicht triviale Lösung der letzteren zieht eine Lösung der
Fermatschen Gleichung nach sich, aber nicht umgekehrt.
Dagegen für 2 = 2 ist (6) lösbar, sogar unendlich oft, und die
Gesamtheit ihrer Lösungen läßt sich explizite durch eine Formel
angeben. Dies folgt aus den Hilfssätzen I und II unmittelbar. Die
Lösung in kleinsten Zahlen ist diese:
4813 - 48792 = 108-604oder (13-37)3 - (7-17-41)2 = 33-22(3-4-5)4
Der Beweis der Behauptung (L) beruht in der Hauptsache auf der
eindeutigen Zerlegbarkeit der ganzen Zahlen des Körpers A(|/— 3)
in ein Produkt von unzerlegbaren Faktoren (abgesehen von Einheits-
faktoren). Auf diesem Fundamentalsatz im Körper 7^(|/— 3)
beruhen auch die beiden Hilfssätze, die wir hier vorausschicken:
Hilfssatz I.
Die Gleichung A2 + 3 B2 = C3 wird zu einer in r, s identisch
richtigen Gleichung, wenn man ansetzt:
A = t/(r, 5) h -§-(2r3 + 2s3 — 3r2s — 3rs2)
(7) B=F(r, s) % rs (r— s)
C = W(r, s) r2 — rs + s2
Die naturgemäße Erklärung, wie man zu dieser Identität gelangt,
geht hervor aus der Beweismethode des folgenden
Hilfssatz II.
Jedesmal, wenn die Gleichung A2 + 3B2 — C3 von 3 ganz
rationalen Zahlen A, B, C, von denen je 2 teilerfremd sind, und von
denen insbesondere B 0 (mod 3) ist, befriedigt wird, gibt es
2 ganz rationale Zahlen r, s, mit denen A, B, C in folgender Weise
verbunden sind:
A = U(r,s)-, B = Vir.s)- C = W(r,s)-
hierbei sind B, V, W die in (7) definierten Polynome in r, s.
Dieser Hilfssatz II, dessen Beweis unten folgt, sagt nun in
dem besonderen Fall B = 3 • 2n_1 • xn über alle etwa vorhandenen
Lösungen der diophantischen Gleichungen
z3 _ yz = 33 . 22’1-2 • x2n
Folgendes aus. Wenn rc, y, z zu je 2 teilerfremd sind, so muß es
4) Man vgl. „Note sur un theoreme de Fermat“, par M. Lebesgue,
Journal de Mathern., tome 5, (1840),.p. 184, sowie P. Bachmann „Das Fermat-
problem“ (1919), p. 11.