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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0042
42
Friedrich Karl Schmidt:
bis auf einem gemeinsamen Proportionalitätsfaktor mit den Expo-
nenten überein, mit denen p die Elemente in bezug auf B teilt.
Über einem diskret bewerteten Körper existieren daher auch irre-
duzible Polynome jedes beliebigen Grades n, wie man durch Be-
trachtung der Polynome — % erkennt.
Zwei Bewertungen desselben Körpers werden als äquivalent
oder inäquivalent bezeichnet, je nachdem ob die zugehörigen Bewer-
tungsringe übereinstimmen oder nicht.
d) Der Begriff der Bewertung ermöglicht es, die Konvergenz-
theorie von den Zahlen auf beliebige Körper zu übertragen. Man
sagt, die Folge ocn von Elementen aus dem bewerteten Körper k
besitze das Element oc als Grenzelement, wenn für n -+ oo die Be-
ziehung w(oc — ocn) oo gilt; man sagt, die Folge ocn sei eine Fun-
damental folge, wenn für n, m -*■ oo stets w(pcn — oc^ ->• oo gilt. Be-
sitzt jede Fundamentalfolge einen Grenzwert in k, so wird k perfekt
hinsichtlich der Bewertung w genannt.
Sei nun K ein Oberkörper von k und die Bewertung W von K
eine Fortsetzung von w. Die Menge aller Elemente aus K, die
Grenzelemente von Folgen aus k sind, bilden einen Zwischenkörper
zwischen k und K, die sog. perfekte Hülle kK von k in K, deren Wert-
gruppe übrigens stets mit der von k übereinstimmt. Von dieser
Begriffsbildung sind zwei Fälle besonders wichtig. Erstens der Fallr
daß K der kleinste zu k gehörige separabel-algebraisch abgeschlossene
Oberkörper ist; dann heißt kK eine separabel-algebraisch perfekte
Hülle von k. Zweitens der Fall, daß K perfekt ist; dann ist auch
kK perfekt und heißt kurz eine perfekte Hülle von k.
Da es über k stets einen Oberkörper K = K gibt, der gleich-
zeitig algebraisch abgeschlossen und hinsichtlich einer Fortsetzung
von w perfekt ist8), so kann man eine separabel-algebraisch perfekte
Hülle k' und eine perfekte Hülle k von k bilden, für die k' VJ k ist.
Dabei ist k' einfach die perfekte Hülle von k in dem kleinsten über
k separabel-algebraisch abgeschlossener Unterkörper von K, k die
perfekte Hülle von k in K.
6. Zur Galoisschen Theorie. Es bedeute k einen be-
liebigen Körper und M einen separabel-algebraischen Normal-
körper endlichen Grades über k, w eine Bewertung von k und N
eine Fortsetzung von w auf M, schließlich B den zu FZ. gehörigen
8) Vgl. J. Kürschak, Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie,
J. reine angew. Math. 142 (1913).
Friedrich Karl Schmidt:
bis auf einem gemeinsamen Proportionalitätsfaktor mit den Expo-
nenten überein, mit denen p die Elemente in bezug auf B teilt.
Über einem diskret bewerteten Körper existieren daher auch irre-
duzible Polynome jedes beliebigen Grades n, wie man durch Be-
trachtung der Polynome — % erkennt.
Zwei Bewertungen desselben Körpers werden als äquivalent
oder inäquivalent bezeichnet, je nachdem ob die zugehörigen Bewer-
tungsringe übereinstimmen oder nicht.
d) Der Begriff der Bewertung ermöglicht es, die Konvergenz-
theorie von den Zahlen auf beliebige Körper zu übertragen. Man
sagt, die Folge ocn von Elementen aus dem bewerteten Körper k
besitze das Element oc als Grenzelement, wenn für n -+ oo die Be-
ziehung w(oc — ocn) oo gilt; man sagt, die Folge ocn sei eine Fun-
damental folge, wenn für n, m -*■ oo stets w(pcn — oc^ ->• oo gilt. Be-
sitzt jede Fundamentalfolge einen Grenzwert in k, so wird k perfekt
hinsichtlich der Bewertung w genannt.
Sei nun K ein Oberkörper von k und die Bewertung W von K
eine Fortsetzung von w. Die Menge aller Elemente aus K, die
Grenzelemente von Folgen aus k sind, bilden einen Zwischenkörper
zwischen k und K, die sog. perfekte Hülle kK von k in K, deren Wert-
gruppe übrigens stets mit der von k übereinstimmt. Von dieser
Begriffsbildung sind zwei Fälle besonders wichtig. Erstens der Fallr
daß K der kleinste zu k gehörige separabel-algebraisch abgeschlossene
Oberkörper ist; dann heißt kK eine separabel-algebraisch perfekte
Hülle von k. Zweitens der Fall, daß K perfekt ist; dann ist auch
kK perfekt und heißt kurz eine perfekte Hülle von k.
Da es über k stets einen Oberkörper K = K gibt, der gleich-
zeitig algebraisch abgeschlossen und hinsichtlich einer Fortsetzung
von w perfekt ist8), so kann man eine separabel-algebraisch perfekte
Hülle k' und eine perfekte Hülle k von k bilden, für die k' VJ k ist.
Dabei ist k' einfach die perfekte Hülle von k in dem kleinsten über
k separabel-algebraisch abgeschlossener Unterkörper von K, k die
perfekte Hülle von k in K.
6. Zur Galoisschen Theorie. Es bedeute k einen be-
liebigen Körper und M einen separabel-algebraischen Normal-
körper endlichen Grades über k, w eine Bewertung von k und N
eine Fortsetzung von w auf M, schließlich B den zu FZ. gehörigen
8) Vgl. J. Kürschak, Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie,
J. reine angew. Math. 142 (1913).