Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Körper, über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.

45

P^x) und Q^x) sowie die Exponenten und ml übereinstimmen.
Es handelt sich dann um die Behauptung:
Lemma. Sind wr und w2 zwei inäquivalente Bewertungen des
Körpers k und k[ und k'% die separabel-algebraisch perfekten Hüllen
von k hinsichtlich dieser beiden Bewertungen14), bedeuten ferner
G-^x) und G2(x) zwei vorgebene gleichgradige separable Polynome mit
Koeffizienten aus k[ und k'2, so existiert stets ein Polynom mit
Koeffizienten aus k, das über k'^ bzw. k2 denselben Zerlegungstypus wie
G^x) bzw. G2(x) besitzt.
Ersetzt man in diesem Lemma die Worte ,,separabel-algebraisch
perfekt“ durch „perfekt“, betrachtet also an Stelle von k{ und
k2 die perfekten Hüllen kx und k2, die Oberkörper von k[ und k2 sind
(vgl. 5 d), so erhält man das Resultat meiner früheren Arbeit. Daraus
folgt aber in der Tat sogleich die obige Fassung. Die Koeffizienten
der Polynome G^x) liegen nämlich sicher auch in den Oberkörpern
ki von k'i- Da ferner fci gemäß seiner Definition in kt separabel-
algebraisch abgeschlossen ist, bleibt der Zerlegungstypus jedes
separablen Polynoms beim Übergang von zu kt ungeändert. So-
bald man also ein Polynom H(x) über k bestimmt hat, das über
K denselben Zerlegungstypus wie Gt(x) besitzt, hat man eben
damit auch schon ein Polynom über k gefunden, dessen Zerlegungs-
typus über ki mit der vorgegebenen G^x) übereinstimmt, d. h.
das Lemma ist bewiesen.
Aus der neuen Fassung des Lemmas gewinnt man durch ent-
sprechende Schlüsse, wie ich sie früher angewandt habe15) ganz
analoge Folgerungen, nämlich:
Satz 3. Ein Körper k, der hinsichtlich zweier inäquivalenter
Bewertungen separabel-algebraisch perfekt ist, ist separabel-alge-
braisch abgeschlossen.
Satz 4. Ein Körper k, der hinsichtlich einer diskreten Bewertung
w separabel-algebraisch perfekt ist, gestattet keine zu w inäquivalente
diskrete Bewertung.
Aus dem Lemma schließt man ferner:
Satz 5. Besitzt der Körper k eine diskrete Bewertung w, hin-
sichtlich der er nicht separabel-algebraisch perfekt ist, so gibt es über k
14) Die separabel-algebraisch perfekte Hülle von k hinsichtlich irgend
einer Fortsetzung von w auf irgend einen separabel-algebraisch abgeschlossenen
Körper ist bereits durch k und w bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Man
bezeichnet sie daher wie im Text kurz als die separabel-algebraisch perfekte
Hülle von 7c hinsichtlich w. Entsprechendes gilt für die perfekte Hülle.
15) loc. cit. 6) § 3 und § 6.