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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0046
46
Friedrich Karl Schmidt:
stets eine Gleichung, die durch Radikale nicht aufgelöst werden kann.
Da /c hinsichtlich w nicht separabel-algebraisch perfekt ist,
während der kleinste separabel algebraische abgeschlossene Ober-
körper von k dies hinsichtlich jeder Fortsetzung von w ist, gibt es
sicher einen separabel algebraischen Oberkörper K'fk endlichen
Grades, auf den w zwei in äquivalente Fortsetzungen «q und w2
gestattet15a). Diese Bewertungen wt und w2 sind nach 5b) wiederum
diskret, und ebenso sind nach 5 d) die separabel algebraisch perfekten
Hüllen K'x und K'2 hinsichtlich wr und w2 diskret bewertet. Über
Aj und K2 existieren daher nach 5 c) irreduzible separable Poly-
nome jeden Grades. Man kann also etwa über Aj ein irreduzibles
separables Polynom G^x) vom Primzahlgrad p 5 bilden und über
/<2 ein separables Polynom G2(x) ebenfalls vom Grade p, das aber
gleich dem Produkt aus einem irreduziblen Polynom (p — 2)-ten
Grades und zwei verschiedenen Linearfaktoren ist. Dann gibt es
nach dem Lemma über K' ein Polynom H(x), das über K'i denselben
Zerlegungstypus wie G^x) besitzt.
Dieses Polynom//(rr) ist nun sicher über K' nicht durch Radikale
auflösbar. Zunächst ist nämlich// (a;) irreduzibel über K’; denn es be-
sitzt über denselben Zerlegungstypus wieG (#), ist demnach sogar
über dem Oberkörper K[ von IG irreduzibel. Wäre also H(x) durch
Radikale auflösbar, so müßten wegen des Primzahlgrads alle seine
Nullstellen über K' rational durch irgend zwei darstellbar sein. An-
dererseits hat aber H(x) über A-2 denselben Zerlegungstypus wie
GRx) d. h. es liegen genau zwei und nicht mehr Nullstellen von H(x)
in Ah Die Nullstellen von H(x) sind daher nicht einmal über dem
Oberkörper K'2 von A' rational durch diese zwei ausdrückbar.
H(x) ist mithin wirklich über IG nicht durch Radikale auflösbar.
Dasselbe gilt dann selbstverständlich über dem ursprünglichen
Körper k für jedes durch II(rr) teilbare irreduzible Polynom, und
damit ist Satz 5 bewiesen.
8. Der Hauptsatz und sein Beweis.
Hauptsatz. Der Körper k besitze mindestens eine diskrete
Bewertung w, hinsichtlich der er nicht separabel-algebraisch perfekt
ist. Ist dann A ein Normalkörper über k und ist jede algebraische
Gleichung über A durch Radikale auflösbar, so ist A separabel-al-
gebraisch abgeschlossen.
Dieser Satz enthält tatsächlich I als Spezialfall. In I ist nämlich
vorausgesetzt, daß A nicht gleichzeitig absolut algebraisch und von
15a) Anwendung von Satz 2!
Friedrich Karl Schmidt:
stets eine Gleichung, die durch Radikale nicht aufgelöst werden kann.
Da /c hinsichtlich w nicht separabel-algebraisch perfekt ist,
während der kleinste separabel algebraische abgeschlossene Ober-
körper von k dies hinsichtlich jeder Fortsetzung von w ist, gibt es
sicher einen separabel algebraischen Oberkörper K'fk endlichen
Grades, auf den w zwei in äquivalente Fortsetzungen «q und w2
gestattet15a). Diese Bewertungen wt und w2 sind nach 5b) wiederum
diskret, und ebenso sind nach 5 d) die separabel algebraisch perfekten
Hüllen K'x und K'2 hinsichtlich wr und w2 diskret bewertet. Über
Aj und K2 existieren daher nach 5 c) irreduzible separable Poly-
nome jeden Grades. Man kann also etwa über Aj ein irreduzibles
separables Polynom G^x) vom Primzahlgrad p 5 bilden und über
/<2 ein separables Polynom G2(x) ebenfalls vom Grade p, das aber
gleich dem Produkt aus einem irreduziblen Polynom (p — 2)-ten
Grades und zwei verschiedenen Linearfaktoren ist. Dann gibt es
nach dem Lemma über K' ein Polynom H(x), das über K'i denselben
Zerlegungstypus wie G^x) besitzt.
Dieses Polynom//(rr) ist nun sicher über K' nicht durch Radikale
auflösbar. Zunächst ist nämlich// (a;) irreduzibel über K’; denn es be-
sitzt über denselben Zerlegungstypus wieG (#), ist demnach sogar
über dem Oberkörper K[ von IG irreduzibel. Wäre also H(x) durch
Radikale auflösbar, so müßten wegen des Primzahlgrads alle seine
Nullstellen über K' rational durch irgend zwei darstellbar sein. An-
dererseits hat aber H(x) über A-2 denselben Zerlegungstypus wie
GRx) d. h. es liegen genau zwei und nicht mehr Nullstellen von H(x)
in Ah Die Nullstellen von H(x) sind daher nicht einmal über dem
Oberkörper K'2 von A' rational durch diese zwei ausdrückbar.
H(x) ist mithin wirklich über IG nicht durch Radikale auflösbar.
Dasselbe gilt dann selbstverständlich über dem ursprünglichen
Körper k für jedes durch II(rr) teilbare irreduzible Polynom, und
damit ist Satz 5 bewiesen.
8. Der Hauptsatz und sein Beweis.
Hauptsatz. Der Körper k besitze mindestens eine diskrete
Bewertung w, hinsichtlich der er nicht separabel-algebraisch perfekt
ist. Ist dann A ein Normalkörper über k und ist jede algebraische
Gleichung über A durch Radikale auflösbar, so ist A separabel-al-
gebraisch abgeschlossen.
Dieser Satz enthält tatsächlich I als Spezialfall. In I ist nämlich
vorausgesetzt, daß A nicht gleichzeitig absolut algebraisch und von
15a) Anwendung von Satz 2!