Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Körper, über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.

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Primzahlcharakteristik ist. Ein transzendenter Kern von A kann
daher niemals Primkörper von Primzahlcharakteristik sein, besitzt
somit als rein transzendenter Körper unendlich viele inäquivalente
diskrete Bewertungen. Nach Satz 4 ist er dann hinsichtlich keiner
dieser diskreten Bewertungen separabel-algebraisch perfekt, d. h.
jeder transzendente Kern von A besitzt die Eigenschaften, die im
Hauptsatz von k gefordert werden. Diese Überlegung zeigt zu-
gleich, daß man den transzendenten Kern in I durch irgend eine
seiner in A enthaltenen endlichen algebraischen Erweiterungen er-
setzen darf, die ja stets ebenfalls unendlich viele inäquivalente
diskrete Bewertungen hat. Demgemäß kann man in I' an Stelle
des Körpers P der rationalen Zahlen auch einen in N enthaltenen
endlichen algebraischen Zahlkörper treten lassen.
Zum Beweis des Hauptsatzes greife ich aus A den größten über
k separabel algebraischen Unterkörper N heraus, der ja sicher
normal über k ist, und betrachte irgend eine Fortsetzung W der dis-
kreten Bewertung w von k auf N. Ist dann T der Trägheitskörper
von W/k, so behaupte ich: T ist separabel-algebraisch perfekt hin-
sichtlich W.
In der Tat, T ist als Trägheitskörper von W/k gemäß 6 d)
gleichzeitig mit k diskret bewertet. Wäre nun T nicht separabel-
algebraisch perfekt, so gäbe es, nach Satz 5 über T ein Polynom
W(x), das durch Radikale nicht aufgelöst werden kann. Da jedes
Element aus N nach 6 c) über T durch Radikale darstellbar ist,
ferner auch A/N durch Radikale aufgebaut werden kann, könnte
dieses Polynom auch über A sicher nicht durch Radikale auf¬
lösbar sein. Das widerspricht aber der Voraussetzung über A,
d. h. T ist wirklich separabel-algebraisch perfekt hinsichtlich W.
Daraus ergibt sich auf Grund der Folgerung aus Satz 1 sofort,
daß auch der über T separabel algebraische Oberkörper N separabel-
algebraisch perfekt hinsichtlich W ist, und zwar gilt das für jede
beliebige Fortsetzung W von w. Da k nach Voraussetzung hin-
sichtlich w nicht separabel-algebraisch perfekt ist, während dies
für den separabel-algebraischen Oberkörper N hinsichtlich einer Fort-
setzung 1F von w der Fall ist, gestattet w nach Satz 2 mindestens
zwei inäquivalente Fortsetzungen auf N. N ist also hinsichtlich
zweier inäquivalenter Bewertungen separabel-algebraisch perfekt
und daher nach Satz 3 separabel-algebraisch abgeschlossen. Selbst-
verständlich ist dann auch A separabel-algebraisch abgeschlossen.