Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
stehen wir die offene Kreisscheibe vom Radius e um P als Mittel-
punkt. Unter der e-Ncichbarschaft N($N,e) = N(e) von 33 verstehen
wir ferner die Vereinigung der ^-Umgebungen aller Punkte P von
35. Unter einer e-(An-)Näherung an 35 oder von 55 sei ein Bogen
21 von folgenden Eigenschaften verstanden:
(4.1) 21 liegt in 7V(25;e).
(4.2) 33 liegt in 7V(2l;e).
(4.3) Zu irgend einem Teilbogen £« von 35 gibt es
einen Teilbogen Sgi von 21 derart, daß X21 in
7V(£sb;e) und daß £93 in 7V(^gi;f) liegt.
Man kann also sagen: Durch eine c-Näherung 21 wird 25 über-
all „z-gleichmäßig“ approximiert.
Wir konstruieren zunächst eine stückweise 7) konvexe und stück-
weise analytischer), ordnungsfeste z-Näherung von 35.
/. Schritt: Zuerst führen wir die Konstruktion im Kleinen durch7):
Es sei P irgend ein Punkt von 35. Dann gibt es — so behaupten
wir — zu vorgegebenem 0 eine Umgebung U = U(P; 33) von
P auf 33 von folgender Beschaffenheit: Ist Pv ein beliebiger Punkt
aus U mit Pv=ß P, so kann der durch P und Pr begrenzte Teil-
bogen £ von 25 in der Weise c-angenähert werden, daß jede
Gerade mit dem Annäherungsbogen höchstens soviel Punkte ge-
meinsam hat als mit X. In der Tat: Es sei/f = /c(e) die abge-
£
schlossene Kreisscheibe um den Mittelpunkt P mit dem Radius - >
ferner seien 35,- und 35/ die größte rechts- bzw. linksseitige Um-
gebung von P auf 23, welche ganz in k enthalten sind; falls P
Endpunkt von 35 ist, kommt natürlich nur eine der einseitigen
Umgebungen in Frage. Dann ist 33,- -j- 33/ bereits die gesuchte Um-
gebung U von P auf 33. Zum Beweise brauchen wir nur 33,- zu be-
trachten, da für 33/ alles unverändert gilt. Es sei also PY irgendein
von P verschiedener Punkt auf 35,■, ferner sei 331 = PP1 derjenige
abgeschlossene Teilbogen von 33, welcher P und Px verbindet.
Weiter sei H die abgeschlossene konvexe Hülle von 35x, und es
sei $ ein — im übrigen beliebiger — Konvexbogen, welcher bis
auf seine Endpunkte P, Pr ganz im Innern von H liegt. V ist
e-benachbart zu 33x. Unsere Behauptung, daß U = 33r-j-33/ die ge-
') Der Einfachheit wegen formulieren wir die Überlegungen nur für
den Fall, daß 53 keine „mehrfach durchlaufenen“ Teilbogen besitzt, d. h.
daß nicht zwei verschiedene Teilstrecken der Urbildstrecke [0,1 ] das gleiche
Bild besitzen. Alles gilt aber unverändert auch für diesen allgemeinen Fall.