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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0006
6
Otto Haupt
suchte Umgebung ist, ergibt sich daher unmittelbar aus folgender
Eigenschaft von $:
2, 1. Satz: Irgendeine Gerade g hat mit einem Bogen min-
destens ebensoviele Punkte gemeinsam als mit jedem Konvex-
bogen welcher die gleichen Endpunkte besitzt wie 23x, und
welcher im übrigen innerhalb der (abgeschlossenen) konvexen
Hillle von 23x verläuft.
In der Tat: Es habe g mit dem abgeschlossenen Konvexbogen
V im ganzen m Punkte gemeinsam. Für m = 0 ist die Behauptung
richtig. Im Falle m = 1 werden PPr und $ von g in je genau
einem Punkte getroffen, und diese beiden Punkte fallen dann und
nur dann zusammen, wenn g durch P oder Pr geht; daher wird
auch 23x in mindestens einem Punkte von g getroffen. Ist schließ-
lich m — 2, so geht entweder g durch P und Pt oder g ist fremd
zur offenen Verbindungsstrecke von P und und hat mit H
innere Punkte gemeinsam; daher wird in beiden Fällen auch 2^
von g in mindestens zwei Punkten getroffen.
Speziell können wir als (abgeschlossenen) Bogen $ beispiels-
weise einen Kreisbogen wählen oder einen Ellipsenbogen (welcher
keinen Scheitel enthält). Dann ist $ sogar: Erstens analytisch;
und für eine analytische Darstellung x = cp (t), y = ip (0 des ab-
geschlossenen Bogens $ gilt dann Zweitens, daß stets
I (01 i’' (f) I o,
wodurch unter anderem die Existenz und Stetigkeit der Tangente
längs $ garantiert ist; ferner gilt Drittens, daß die Krümmung
stetig und von Null verschieden ist. Einen Konvexbogen mit diesen
drei Eigenschaften wollen wir regulär-konvex nennen.
II. Schritt: Aus der soeben konstruierten ^-Annäherung im
Kleinen folgt nunmehr auch die im Großen.
Zufolge der Kompaktheit von 23 ist nämlich der Heine-Borel-
Überdeckungssatz anwendbar. Daraus ergibt sich die Existenz
einer in der e-Nachbarschaft von 23 verlaufenden Summe (5 von
endlich vielen regulär-konvexen Bogen ,.... wobei (5 über-
dies die Eigenschaften (A,l) bis (A,3) besitzt; ist dabei S in
[0,1] definiert etwa durch x = cp (f), z/ = ^(0> s0 wird definiert
durch
x = cp (0, y = zp (0 in [ZQ i, Ul
mit passenden te, q = 1,..., r; to = O, tr== 1. Der Konstruktion
(I. Schritt) zufolge besitzt nun (S höchstens die gleiche Ordnung
wie 23. Andererseits gilt aber allgemein der
Otto Haupt
suchte Umgebung ist, ergibt sich daher unmittelbar aus folgender
Eigenschaft von $:
2, 1. Satz: Irgendeine Gerade g hat mit einem Bogen min-
destens ebensoviele Punkte gemeinsam als mit jedem Konvex-
bogen welcher die gleichen Endpunkte besitzt wie 23x, und
welcher im übrigen innerhalb der (abgeschlossenen) konvexen
Hillle von 23x verläuft.
In der Tat: Es habe g mit dem abgeschlossenen Konvexbogen
V im ganzen m Punkte gemeinsam. Für m = 0 ist die Behauptung
richtig. Im Falle m = 1 werden PPr und $ von g in je genau
einem Punkte getroffen, und diese beiden Punkte fallen dann und
nur dann zusammen, wenn g durch P oder Pr geht; daher wird
auch 23x in mindestens einem Punkte von g getroffen. Ist schließ-
lich m — 2, so geht entweder g durch P und Pt oder g ist fremd
zur offenen Verbindungsstrecke von P und und hat mit H
innere Punkte gemeinsam; daher wird in beiden Fällen auch 2^
von g in mindestens zwei Punkten getroffen.
Speziell können wir als (abgeschlossenen) Bogen $ beispiels-
weise einen Kreisbogen wählen oder einen Ellipsenbogen (welcher
keinen Scheitel enthält). Dann ist $ sogar: Erstens analytisch;
und für eine analytische Darstellung x = cp (t), y = ip (0 des ab-
geschlossenen Bogens $ gilt dann Zweitens, daß stets
I (01 i’' (f) I o,
wodurch unter anderem die Existenz und Stetigkeit der Tangente
längs $ garantiert ist; ferner gilt Drittens, daß die Krümmung
stetig und von Null verschieden ist. Einen Konvexbogen mit diesen
drei Eigenschaften wollen wir regulär-konvex nennen.
II. Schritt: Aus der soeben konstruierten ^-Annäherung im
Kleinen folgt nunmehr auch die im Großen.
Zufolge der Kompaktheit von 23 ist nämlich der Heine-Borel-
Überdeckungssatz anwendbar. Daraus ergibt sich die Existenz
einer in der e-Nachbarschaft von 23 verlaufenden Summe (5 von
endlich vielen regulär-konvexen Bogen ,.... wobei (5 über-
dies die Eigenschaften (A,l) bis (A,3) besitzt; ist dabei S in
[0,1] definiert etwa durch x = cp (f), z/ = ^(0> s0 wird definiert
durch
x = cp (0, y = zp (0 in [ZQ i, Ul
mit passenden te, q = 1,..., r; to = O, tr== 1. Der Konstruktion
(I. Schritt) zufolge besitzt nun (S höchstens die gleiche Ordnung
wie 23. Andererseits gilt aber allgemein der