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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0007
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Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
2, 2. Satz: Jede e-Annäherung an 33 besitzt mindestens die
gleiche Ordnung n wie 53, falls nur e hinreichend klein ist. Aus-
führlicher: Zu beliebig vorgegebenem Bogen 53 der Ordnung n
gibt es ein e0>0, sodaß jede e-Annäherung an 53 mit 0 < « < «0
mindestens die Ordnung n besitzt.
Beweis. Es sei n die Ordnung von 5g. Es gibt dann7) eine
Gerade g, welche mit 53. genau n verschiedene Schnittpunkte
gemeinsam hat; es gibt also in der Nähe von sv auf
53 je zwei Punkte Q'v, Q"v, sodaß Q'v auf der einen, etwa der
positiven, und Q”v auf der anderen, etwa der negativen, Seite von
g liegt. 0. B. d. A. können wir die Q'v, Q"r (^ = 1,..., /?) so an-
nehmen8), daß
Max (4 Q'v, S,,|, 4 Q"v, Sv )< Min (\ Sfl, Sv|).
V = 1, .., n ,u, v = 1, n
v
Ist nun
4M= Min (\Q'v,g ,\Q\,gQ,
v — 1, .., n
so wähle man s0 < M. Jede s0-Annäherung 21 an 53 enthält dann
Punkte P'}, bzw. P"v aus der e0-Umgebung von Q'v, bzw. von Q"9,;
und da diese Umgebungen fremd sind zu g, so liegen auch P'v
und P"v auf verschiedenen Seiten von g. Ferner enthält 21 einen
Teilbogen, welcher Pf, mit P"v verbindet, und welcher durch die
e0-Umgebung U,. von läuft. Weil aber die Uv paarweise fremd
sind, so hat g mit 21 mindestens n Schnittpunkte gemeinsam,
m. a. W. 21 ist mindestens von der Ordnung/?, w. z. z. w.
Aus Satz 2,2 ergibt sich somit;
2,3: Jeder Bogen 23 der Ordnung n läßt sich durch stückweise
regulär-konvexe Bogen 21 der gleichen Ordnung n gleichmäßig be-
liebig genau annähern, sodaß die Endpunkte und die Halbtangenten
in ihnen für 21 und 53 die gleichen sind.
Aus Satz 2, 1 entnehmen wir schließlich noch die für später
nützliche
2,4. Regel: Ist 21 eine ordnungsfeste e-Annäherung an 53,
so erhält man wieder eine ordnungsfeste e-Annäherung an 53,
wenn man irgend einen genügend kleinen (eventuell konvexen)
Teilbogen von 21 unter Festhalten seiner Endpunkte durch einen
„flacheren“ Konvexbogen ersetzt, d. h. durch einen Konvexbogen,
8) Mit \P, Q\ bezw. mit | P, g | sei die Entfernung des Punktes P vom
Punkte Q bezw. von der Geraden g bezeichnet.
Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
2, 2. Satz: Jede e-Annäherung an 33 besitzt mindestens die
gleiche Ordnung n wie 53, falls nur e hinreichend klein ist. Aus-
führlicher: Zu beliebig vorgegebenem Bogen 53 der Ordnung n
gibt es ein e0>0, sodaß jede e-Annäherung an 53 mit 0 < « < «0
mindestens die Ordnung n besitzt.
Beweis. Es sei n die Ordnung von 5g. Es gibt dann7) eine
Gerade g, welche mit 53. genau n verschiedene Schnittpunkte
gemeinsam hat; es gibt also in der Nähe von sv auf
53 je zwei Punkte Q'v, Q"v, sodaß Q'v auf der einen, etwa der
positiven, und Q”v auf der anderen, etwa der negativen, Seite von
g liegt. 0. B. d. A. können wir die Q'v, Q"r (^ = 1,..., /?) so an-
nehmen8), daß
Max (4 Q'v, S,,|, 4 Q"v, Sv )< Min (\ Sfl, Sv|).
V = 1, .., n ,u, v = 1, n
v
Ist nun
4M= Min (\Q'v,g ,\Q\,gQ,
v — 1, .., n
so wähle man s0 < M. Jede s0-Annäherung 21 an 53 enthält dann
Punkte P'}, bzw. P"v aus der e0-Umgebung von Q'v, bzw. von Q"9,;
und da diese Umgebungen fremd sind zu g, so liegen auch P'v
und P"v auf verschiedenen Seiten von g. Ferner enthält 21 einen
Teilbogen, welcher Pf, mit P"v verbindet, und welcher durch die
e0-Umgebung U,. von läuft. Weil aber die Uv paarweise fremd
sind, so hat g mit 21 mindestens n Schnittpunkte gemeinsam,
m. a. W. 21 ist mindestens von der Ordnung/?, w. z. z. w.
Aus Satz 2,2 ergibt sich somit;
2,3: Jeder Bogen 23 der Ordnung n läßt sich durch stückweise
regulär-konvexe Bogen 21 der gleichen Ordnung n gleichmäßig be-
liebig genau annähern, sodaß die Endpunkte und die Halbtangenten
in ihnen für 21 und 53 die gleichen sind.
Aus Satz 2, 1 entnehmen wir schließlich noch die für später
nützliche
2,4. Regel: Ist 21 eine ordnungsfeste e-Annäherung an 53,
so erhält man wieder eine ordnungsfeste e-Annäherung an 53,
wenn man irgend einen genügend kleinen (eventuell konvexen)
Teilbogen von 21 unter Festhalten seiner Endpunkte durch einen
„flacheren“ Konvexbogen ersetzt, d. h. durch einen Konvexbogen,
8) Mit \P, Q\ bezw. mit | P, g | sei die Entfernung des Punktes P vom
Punkte Q bezw. von der Geraden g bezeichnet.