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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0010
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Otto Haupt
Ableitungen geglättet, aber so, daß wir zu einer sogar stückweise
regulär-konvexen ordnungsfesten e-Annäherung 21' an 93 gelangen
(welche überall eine stetige Tangente und höchstens Wendepunkte,
aber keine Spitzen besitzt) (vgl. Nachtrag 2). 0. B. d. A. kann
angenommen werden, daß beim Übergang von 21 zu 21' die in
3, 1 aufgezählten Eigenschaften erhalten bleiben. Darüber hinaus
gilt sogar:
4,1. Es gibt eine mit stetiger Tangente versehene und von
Spitzen freie ordnungsfeste e-Annäherung 21" an 23, /rzr welche
<p lind i/j mindestens zweimal stetig differenzierbar sind, und für
welche die Krümmung K (t) in allen Wendepunkten und nur in
ihnen Nullstellen besitzt, während die erste Ableitung K' (t) von
K (t) in je einer Umgebung 2ß eines jeden Wendepunktes W
existiert und dort überall stetig, sowie von Null verschieden ist.
Außerdem besitzt 21" die in 3, 1 aufgezählten Eigenschaften, mit
Ausnahme höchstens der stückweisen Ancilytizität. Jm besonderen
sind also die Wendepunkte sämtlich einfache Punkte von 21".
Ferner ist , cp (0 I ~H *!>' (0 > 0 längs 21".
Um 21". zu gewinnen, betrachten wir zunächst einen Wende-
punkt W von 21'. Wegen 3,1 ist W kein mehrfacher Punkt. Die
Wendetangente sei w. Wir legen durch W eine von w verschiedene
Gerade g, welche mit 21' in hinreichender Nähe von W genau
drei verschiedene Punkte R, W und S gemeinsam hat. R und
W sowie W und S sind Endpunkte je eines, keine mehrfachen
Punkte von 21' enthaltenden, regulären Konvexbogens und
Es seien ar, aj-, a'j- die „Randwerte“ von cpmR, d. h. die Werte
von cp und seinen zwei ersten Ableitungen in R, ferner seien
br, b'r, b"r die entsprechenden Randwerte von V7 in R. Analog
bedeuten c/s, c/'s, a"s; bs, b's, b"s die Randwerte in S. Wir legen
jetzt durch W eine weitere, von w verschiedene Gerade h, mit
welcher $,• und je einen inneren Punkt gemeinsam haben.
Sodann ersetzen wir durch einen mindestens zweimal
stetig differenzierbaren Bogen 2ß, welcher Erstens W als einzigen
Wendepunkt und h als Wendetangente in W besitzt, welcher
Zweitens in R bzw. S die gleichen Randwerte wie $,■ bzw.
besitzt, überdies zwischen R und W bzw. zwischen W und S
flacher ist als bzw. als und welcher Drittens in einer
Umgebung 2ß von W auf 2Ö sogar dreimal stetig differenzierbar
ist mit Ax=0, K' =ß0 in W, während K=/=0 ist in allen anderen
Punkten der genannten Umgebung. Längs 2ß sollen </>' und y/
Otto Haupt
Ableitungen geglättet, aber so, daß wir zu einer sogar stückweise
regulär-konvexen ordnungsfesten e-Annäherung 21' an 93 gelangen
(welche überall eine stetige Tangente und höchstens Wendepunkte,
aber keine Spitzen besitzt) (vgl. Nachtrag 2). 0. B. d. A. kann
angenommen werden, daß beim Übergang von 21 zu 21' die in
3, 1 aufgezählten Eigenschaften erhalten bleiben. Darüber hinaus
gilt sogar:
4,1. Es gibt eine mit stetiger Tangente versehene und von
Spitzen freie ordnungsfeste e-Annäherung 21" an 23, /rzr welche
<p lind i/j mindestens zweimal stetig differenzierbar sind, und für
welche die Krümmung K (t) in allen Wendepunkten und nur in
ihnen Nullstellen besitzt, während die erste Ableitung K' (t) von
K (t) in je einer Umgebung 2ß eines jeden Wendepunktes W
existiert und dort überall stetig, sowie von Null verschieden ist.
Außerdem besitzt 21" die in 3, 1 aufgezählten Eigenschaften, mit
Ausnahme höchstens der stückweisen Ancilytizität. Jm besonderen
sind also die Wendepunkte sämtlich einfache Punkte von 21".
Ferner ist , cp (0 I ~H *!>' (0 > 0 längs 21".
Um 21". zu gewinnen, betrachten wir zunächst einen Wende-
punkt W von 21'. Wegen 3,1 ist W kein mehrfacher Punkt. Die
Wendetangente sei w. Wir legen durch W eine von w verschiedene
Gerade g, welche mit 21' in hinreichender Nähe von W genau
drei verschiedene Punkte R, W und S gemeinsam hat. R und
W sowie W und S sind Endpunkte je eines, keine mehrfachen
Punkte von 21' enthaltenden, regulären Konvexbogens und
Es seien ar, aj-, a'j- die „Randwerte“ von cpmR, d. h. die Werte
von cp und seinen zwei ersten Ableitungen in R, ferner seien
br, b'r, b"r die entsprechenden Randwerte von V7 in R. Analog
bedeuten c/s, c/'s, a"s; bs, b's, b"s die Randwerte in S. Wir legen
jetzt durch W eine weitere, von w verschiedene Gerade h, mit
welcher $,• und je einen inneren Punkt gemeinsam haben.
Sodann ersetzen wir durch einen mindestens zweimal
stetig differenzierbaren Bogen 2ß, welcher Erstens W als einzigen
Wendepunkt und h als Wendetangente in W besitzt, welcher
Zweitens in R bzw. S die gleichen Randwerte wie $,■ bzw.
besitzt, überdies zwischen R und W bzw. zwischen W und S
flacher ist als bzw. als und welcher Drittens in einer
Umgebung 2ß von W auf 2Ö sogar dreimal stetig differenzierbar
ist mit Ax=0, K' =ß0 in W, während K=/=0 ist in allen anderen
Punkten der genannten Umgebung. Längs 2ß sollen </>' und y/