Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen

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natürlich niemals gleichzeitig Null sein. Diese Forderungen sind
erfüllbar (vgl. Nachtrag 3). Werden R und S nur hinreichend
nahe bei W gewählt, so erhält man nach Ersetzung von
durch 22 eine zufolge der Regel 2, 4 ordnungsfeste e-Annäherung
21'* von 21'. Ganz entsprechend verfahren wir zur Glättung der
zweiten Aleitungen in denjenigen, nur in endlicher Zahl vorhan-
denen Punkten des Bogens, welche keine Wendepunkte sind
und in welchen besagte Ableitungen Unstetigkeiten besitzen. Es
sei P ein solcher Punkt; er ist innerer Punkt eines konvexen
Teilbogens von 21', die beiden einseitigen Umgebungen sind
regulär-konvex. Es sei U = QT eine hinreichend kleine Umgebung
von P auf 21', in deren Innerem P liegt. Die Randwerte in Q
und T seien ciQ,..., a"Q; bQ,..., b"Q, bzw. aT,..., b"T. Wir legen
zwischen Q und T einen zweimal stetig differenzierbaren Kon-
vexbogen welcher flacher ist als U, welcher in Q und T die
Randwerte ciQ,..., b"Q, bzw. ctT,..., b"T, sowie eine nirgends
verschwindende Krümmung besitzt, und längs welchem c/ und
i/2 nicht beide gleichzeitig Null sind. (Vgl. Nachtrag 3).
Führen wir diese Konstruktionen der Reihe nach für jeden
Wendepunkt und für jeden der Punkte P durch, so erhalten, wir
das gesuchte 21". (Vergl. auch Nachtrag 1.) Wegen der Willkür,
die bei der Wahl der neuen Wendetangenten h noch verbleibt,
kann dabei
4,2: Die Konstruktion der in 4, 1 erwähnten s-Annäherung
21" so eingerichtet werden, daß auf keiner der endlich vielen Wende-
tangenten von 21" Stützpunkte oder Endpunkte von 21" liegen; daß
ferner auf jeder Wendetangente genau ein Wendepunkt liegt.
5. Die soeben gefundene f-Näherung 21" sei definiert durch die
zweimal stetig differenzierbaren Funktionen gp(f), ^(0 mit [0,1]
als Definitionsbereich. Es sei k die Anzahl der Wendepunkte und
es seien tr,... ,tk die Parameterwerte, durch welche diese Wende-
punkte Wt,..., Wk geliefert werden.
5,1. Wir approximieren nunmehr q> und Tp gleichmäßig9) durch
Polynome p(t), q(t) mit beliebig vorgegebener Genauigkeit £. Da-
bei können wir die Approximation so einrichten, daß in den Wende-
punkten tr,...,tk sowie in den Endpunkten die Polynome p bzw.
q nebst ihren drei ersten Ableitungen die gleichen Werte haben
wie die zu approximierenden cp bzw. y.
■') Rosenthal, A., Funktionenfolgen, Enzykl. d. math. Wiss. II 3, S. 1149,
1150, sowie die dort gemachten Literaturangaben.