Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Haupt

In der Tat: Es sei px(0 ein Näherungspolynom für go(A) mit
in [0,1],
Im Rahmen dieser Bedingung kann dann bekanntlich pY (t) noch
so gewählt werden, daß auch
Pi(y) (0 —< 2 £ in [0,1] für; = 1,2;
ferner daß
Ipi(3)(0-<p(3)(0I<4«
auf allen abgeschlossenen Teilbogen, auf welchen <p(3)(0 stetig
ist9)- Wir berechnen nun passend ein Polynom p2(1f), welches
nebst seinen drei bzw. zwei ersten Ableitungen in jedem tx bzw.
im Anfangs- und im Endpunkt von 21" die gleichen Werte an-
nimmt, wie (y> — /jJ bzw. wie dessen Ableitungen (x = 1,..., /c).
Wie man beispielsweise aus der NEWTON’schen Interpolations-
formel ersieht, sind dann die drei ersten Ableitungen von p.,(f)
in [0,1] gleichmäßig absolut beliebig klein, etwa kleiner als ? £,
wenn nur die benutzten Interpolationswerte von —pf) und
seinen Ableitungen hinreichend klein sind. Für passende pr und p.>
wird daher [<p — (P1+P2)] nebst seinen in Frage kommenden
Ableitungen gleichmäßig absolut kleiner als £ in [0,1] bzw. in der
Umgebung der tK. Entsprechend wird ^(0 durch ein Polynom
(7i 4“ 7s) approximiert. Für hinreichend keines s sind übrigens
dann die Ableitungen der beiden Annäherungspolynome niemals
gleichzeitig Null; Spitzen treten also nicht auf.
Nunmehr ist zu zeigen:
5, 2: Die e-Näherung 21 an 21", welche durch die soeben kon-
struierten Polynome p — Pi-\-p2, q = Qi + q2 definiert wird, ist
für hinreichend kleines e von der gleichen Ordnung n wie 21" und
folglich wie 23.
Zu dem Zwecke stellen wir zunächst fest:
5. 3: Sobald ej> 0 hinreichend klein gewählt ist, besitzt 21
genau die gleichen Wendepunkte wie 21", also Wendepunkte in den
Wx und nur in diesen (x = 1,..., Zc). Ferner besitzen für hin-
reichend kleines e die Näherungen 21 in vorgeschriebener zwei-
dimensionaler Umgebung eines jeden mehrfachen Punktes von 21"
genau einen mehrfachen Punkt, und zwar einen zweifachen;
andere mehrfache Punkte besitzt 21 nicht.