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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0013
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Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
In der Tat: Ist e hinreichend klein, so wird die auf 21" stetige
Krümmung (0 von 21" gleichmäßig beliebig genau durch die
Krümmung K* (t) von 21 approximiert9), sodaß alle Nullstellen
von in den Umgebungen Tß (vgl. 4, 1) der Nullstellen von
K (t) liegen. Da in letzteren Umgebungen aber K' (t) existiert,
sowie von Null verschieden und stetig ist, und da in der Nähe
der W% auch K'(f) beliebig genau durch K'* (0 approximiert wird,
so kann in der Nähe jeder Nullstelle von K (0 nicht mehr als
eine Nullstelle von K* (f) liegen. Daraus folgt die Behauptung.
Daß in der Nähe eines jeden mehrfachen Punktes von 21"
mindestens ein mehrfacher Punkt von 2t liegt, ist leicht einzusehen.
Es genügt daher zu zeigen: Für hinreichend kleines e sind alle
mehrfachen Punkte von 21 zweifach; in der Nähe eines mehr-
fachen Punktes von 21" liegt nicht mehr als ein zweifacher Punkt
von 21; im übrigen sind keine mehrfachen Punkte auf 21 vorhanden.
Um diese Behauptungen, wenn auch in etwas anderer Reihenfolge,
zu beweisen, gehen wir aus von einer beliebigen Nullfolge j
und einer Folge j2Ir| zugehöriger ^-Näherungen 21 von 21". Es
sei x = cp (t), y = y (f) die zu Grunde gelegte Darstellung von 21"
und x = (pv(f), y==ipv(f) die von 2L; es sollen also (f), <A(0
usw. gleichmäßig gegen <p(t),(p' (f) usw. konvergieren. Es sei
ein r,,-facher Punkt auf 21,. mit den zugehörigen Parameterwerten
’j’,...,wobei o. B. d. A. r,.^>2; es sei also
= (*”) = *(<?)./ = 2, •••, r»; >' = 1,2,....
Dabei können wir annehmen, daß lim fy = f, existiert, min-
destens für j = l,...,r, wobei r das Minimum der r„ ist, also
/’ ^ 2; existierten nämlich diese Limiten nicht, so könnten wir
dies durch passende Auswahl einer Teilfolge aus (2lv| stets er-
zwingen. Nun sind nur folgende zwei Fälle denkbar: Erster Fall:
Mindestens zwei der tj sind einander gleich, etwa tr = A2. Dann
gäbe es wegen (O’) =^.(^2) usw. ein G, bzw. i"v zwischen t(\
und t(2 mit y'v (/,,) = 0 bzw. mit xp'v (/',.) = 0. Wegen der gleich-
mäßigen Konvergenz der stetigen <p'v (f), xp'v (t) gegen die (stetigen)
(0 wäre dann aber <p (^) = 0, (0 = 0 entgegen der
Annahme, daß | cp' \ 1 t/T | ß> 0 längs 21". — Es kann also nur der
zweite Fall eintreten: Alle tj (7 = 1,..., r) sind verschieden.
Durch Grenzübergang ergibt sich, daß die tj einen /--fachen Punkt
Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
In der Tat: Ist e hinreichend klein, so wird die auf 21" stetige
Krümmung (0 von 21" gleichmäßig beliebig genau durch die
Krümmung K* (t) von 21 approximiert9), sodaß alle Nullstellen
von in den Umgebungen Tß (vgl. 4, 1) der Nullstellen von
K (t) liegen. Da in letzteren Umgebungen aber K' (t) existiert,
sowie von Null verschieden und stetig ist, und da in der Nähe
der W% auch K'(f) beliebig genau durch K'* (0 approximiert wird,
so kann in der Nähe jeder Nullstelle von K (0 nicht mehr als
eine Nullstelle von K* (f) liegen. Daraus folgt die Behauptung.
Daß in der Nähe eines jeden mehrfachen Punktes von 21"
mindestens ein mehrfacher Punkt von 2t liegt, ist leicht einzusehen.
Es genügt daher zu zeigen: Für hinreichend kleines e sind alle
mehrfachen Punkte von 21 zweifach; in der Nähe eines mehr-
fachen Punktes von 21" liegt nicht mehr als ein zweifacher Punkt
von 21; im übrigen sind keine mehrfachen Punkte auf 21 vorhanden.
Um diese Behauptungen, wenn auch in etwas anderer Reihenfolge,
zu beweisen, gehen wir aus von einer beliebigen Nullfolge j
und einer Folge j2Ir| zugehöriger ^-Näherungen 21 von 21". Es
sei x = cp (t), y = y (f) die zu Grunde gelegte Darstellung von 21"
und x = (pv(f), y==ipv(f) die von 2L; es sollen also (f), <A(0
usw. gleichmäßig gegen <p(t),(p' (f) usw. konvergieren. Es sei
ein r,,-facher Punkt auf 21,. mit den zugehörigen Parameterwerten
’j’,...,wobei o. B. d. A. r,.^>2; es sei also
= (*”) = *(<?)./ = 2, •••, r»; >' = 1,2,....
Dabei können wir annehmen, daß lim fy = f, existiert, min-
destens für j = l,...,r, wobei r das Minimum der r„ ist, also
/’ ^ 2; existierten nämlich diese Limiten nicht, so könnten wir
dies durch passende Auswahl einer Teilfolge aus (2lv| stets er-
zwingen. Nun sind nur folgende zwei Fälle denkbar: Erster Fall:
Mindestens zwei der tj sind einander gleich, etwa tr = A2. Dann
gäbe es wegen (O’) =^.(^2) usw. ein G, bzw. i"v zwischen t(\
und t(2 mit y'v (/,,) = 0 bzw. mit xp'v (/',.) = 0. Wegen der gleich-
mäßigen Konvergenz der stetigen <p'v (f), xp'v (t) gegen die (stetigen)
(0 wäre dann aber <p (^) = 0, (0 = 0 entgegen der
Annahme, daß | cp' \ 1 t/T | ß> 0 längs 21". — Es kann also nur der
zweite Fall eintreten: Alle tj (7 = 1,..., r) sind verschieden.
Durch Grenzübergang ergibt sich, daß die tj einen /--fachen Punkt