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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0014
14
Otto Haupt
von 21" liefern, woraus r = 2 folgt. In jeder *21,.j sind also10) fast
alle rv = 2. Das bisher Bewiesene läßt sich so zusammen-
fassen : Für hinreichend kleines £ besitzt jede s-Näherung 21 an 21"
höchstens zweifache Punkte und nur solche, die in vorgegebener
Nähe von zweifachen Punkten von 21" liegen. Wir haben also
nur noch zu zeigen, daß verschiedene zweifache Punkte Pv und Qr
auf 21,. mit v—>©<> nicht gegen den gleichen zweifachen Punkt von
21" konvergieren können. Dies folgt aber wieder mit Hilfe des
Mittelwertsatzes. Es seien nämlich t{vJ, t^ bzw. s(]’\ die zu P,.
bzw. Q,. gehörigen Parameterwerte. Dann gilt:
(»'? (A).
(s<j> - ?<;■■) <. («<;->) = («(♦) - ;<;>) (</’>),
wobei bzw. oty zwischen s(p und t(ljj bzw. zwischen
s und tty liegen. Daraus folgt:
V'r W) = <PV (ty) V>'r (P4?).
Wäre nun
lim s(d = lim = tj, j = 1,2; tx=j= t2,
v —> oo J V —> oo
so ergäbe sich durch Grenzübergang:
<p' (O (t) = 9>' (fz) p' (tj)
im Widerspruche mit der Voraussetzung, daß in mehrfachen
Punkten von 21" die Tangenten an die beiden „Zweige“ ver-
schieden sein sollen.
5, 4. Mit Hilfe der Feststellung in 5, 3 kann nun der Beweis
der Behauptung 5,2 so geführt werden: Zunächst wissen wir:
Es gibt ein £0> 0, so daß für edle £ mit 0 < £< £0 eine e-Näherung
21 mindestens die gleiche Ordnung n besitzt wie 21"; das folgt
aus Satz 2,2. Es ist daher nur noch die Existenz eines mit
0 Ox <2 «o nachzuweisen, sodaß die Ordnungen aller e-Näherungen
21 von 21" mit 0 O auch höchstens gleich n sind.
Den Beweis für die Existenz eines solchen £r führen wir in-
direkt. Ein £t der geforderten Beschaffenheit existiert nicht dann
und nur dann, wenn es für beliebig kleine e 2> 0 noch f-Näherungen
21 einer Ordnung r n 1 gibt. Wir nehmen also die Existenz
einer Nullfolge j£„| an (£,.>> 0) und einer Folge J 2I,.J zugehöriger
ßr-Näherungen 21,. von 21", sodaß die Ordnung von 21,. größer
10) Andernfalls ließe sich nämlich (durch Auswahl) eine Folge
finden mit r>3.
Otto Haupt
von 21" liefern, woraus r = 2 folgt. In jeder *21,.j sind also10) fast
alle rv = 2. Das bisher Bewiesene läßt sich so zusammen-
fassen : Für hinreichend kleines £ besitzt jede s-Näherung 21 an 21"
höchstens zweifache Punkte und nur solche, die in vorgegebener
Nähe von zweifachen Punkten von 21" liegen. Wir haben also
nur noch zu zeigen, daß verschiedene zweifache Punkte Pv und Qr
auf 21,. mit v—>©<> nicht gegen den gleichen zweifachen Punkt von
21" konvergieren können. Dies folgt aber wieder mit Hilfe des
Mittelwertsatzes. Es seien nämlich t{vJ, t^ bzw. s(]’\ die zu P,.
bzw. Q,. gehörigen Parameterwerte. Dann gilt:
(»'? (A).
(s<j> - ?<;■■) <. («<;->) = («(♦) - ;<;>) (</’>),
wobei bzw. oty zwischen s(p und t(ljj bzw. zwischen
s und tty liegen. Daraus folgt:
V'r W) = <PV (ty) V>'r (P4?).
Wäre nun
lim s(d = lim = tj, j = 1,2; tx=j= t2,
v —> oo J V —> oo
so ergäbe sich durch Grenzübergang:
<p' (O (t) = 9>' (fz) p' (tj)
im Widerspruche mit der Voraussetzung, daß in mehrfachen
Punkten von 21" die Tangenten an die beiden „Zweige“ ver-
schieden sein sollen.
5, 4. Mit Hilfe der Feststellung in 5, 3 kann nun der Beweis
der Behauptung 5,2 so geführt werden: Zunächst wissen wir:
Es gibt ein £0> 0, so daß für edle £ mit 0 < £< £0 eine e-Näherung
21 mindestens die gleiche Ordnung n besitzt wie 21"; das folgt
aus Satz 2,2. Es ist daher nur noch die Existenz eines mit
0 Ox <2 «o nachzuweisen, sodaß die Ordnungen aller e-Näherungen
21 von 21" mit 0 O auch höchstens gleich n sind.
Den Beweis für die Existenz eines solchen £r führen wir in-
direkt. Ein £t der geforderten Beschaffenheit existiert nicht dann
und nur dann, wenn es für beliebig kleine e 2> 0 noch f-Näherungen
21 einer Ordnung r n 1 gibt. Wir nehmen also die Existenz
einer Nullfolge j£„| an (£,.>> 0) und einer Folge J 2I,.J zugehöriger
ßr-Näherungen 21,. von 21", sodaß die Ordnung von 21,. größer
10) Andernfalls ließe sich nämlich (durch Auswahl) eine Folge
finden mit r>3.