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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0018
18
Otto Haupt
echter Teilbogen eines algebraischen, reellen zusammenhängenden
Bogens ist. Hingegen ist gewiß die ordnungfeste c-gleichmäßige
Approximation wenigstens durch in sich geschlossene beschränkte
reelle analytische Kurven x = p (f), y = q (f) möglich, wobei dann
p (0 und q(t) reelle, periodische Funktionen mit gleicher Periode,
etwa trigonometrische Polynome, bedeuten. Dabei wird die
analytische Kurve als in sich geschlossen bezeichnet, wenn sie
nicht echter Teilbogen eines reellen, analytischen, zusammen-
hängenden Bogens ist.
Im einzelnen wird man zur Konstruktion der analytischen
Näherungskurve so verfahren: Die ordnungsfeste e-Approximation
der vorgelegten Kurve S durch eine zweimal stetig differenzier-
bare geschlossene Kurve (£", welche die in 4, 1 und 4, 2 auf-
gezählten Eigenschaften und die Darstellung
x = cp (f), y = V’ (f), — n < n
besitzt, erfolgt genau wie für beschränkte Bogen.
Es bleibt daher nur noch übrig, W bzw. die y (£), y (t) ordnungs-
fest und e-gleichmäßig durch trigonometrische Polynome zu ap-
proximieren. Diese letzteren kann man aber wiederum so ein-
richten, daß sie bezüglich der Wendepunkte die in 5,1 angegebenen
Eigenschaften besitzen. Das ist möglich, weil sich auch für die
trigonometrischen Polynome die beim Beweise von 5, 1 benutzte
Interpolationsaufgabe lösen läßt. In der Tat: Es seien tY,...,tk
die Parameterwerte, durch welche die Wendepunkte auf <S" be-
stimmt sind. 0. B. d. A. kann angenommen werden, daß die tx
sämtlich von — n, 0 und n verschieden sind und daß tx 0
für alle % pt; x, y= 1,..., k. Es soll dann ein trigonometrisches
Polynom p (t) = P (cos f) so bestimmt werden, daß p(f) nebst
seinen drei ersten Ableitungen in den ty vorgegebene Werte an-
nimmt; dabei bezeichnet P (z) ein (gewöhnliches) Polynom in z.
Setzt man z = cos t, zx = cos tx, so sind die zx sämtlich verschieden.
Ferner entnimmt man aus
usw., daß die Ableitungen von p(t) nach t und die von P(z)
nach z einander ein-eindeutig entsprechen (wenigstens für t = ty_,
z = zx), und daß die einen sich als lineare Funktionen der anderen
darstellen lassen (mit stetigen Koeffizienten). Daher ist mit p (tx),
p' (tx) usw. auch P(zx), P'(zx) usw. gegeben. Ist also P(z) ein
Otto Haupt
echter Teilbogen eines algebraischen, reellen zusammenhängenden
Bogens ist. Hingegen ist gewiß die ordnungfeste c-gleichmäßige
Approximation wenigstens durch in sich geschlossene beschränkte
reelle analytische Kurven x = p (f), y = q (f) möglich, wobei dann
p (0 und q(t) reelle, periodische Funktionen mit gleicher Periode,
etwa trigonometrische Polynome, bedeuten. Dabei wird die
analytische Kurve als in sich geschlossen bezeichnet, wenn sie
nicht echter Teilbogen eines reellen, analytischen, zusammen-
hängenden Bogens ist.
Im einzelnen wird man zur Konstruktion der analytischen
Näherungskurve so verfahren: Die ordnungsfeste e-Approximation
der vorgelegten Kurve S durch eine zweimal stetig differenzier-
bare geschlossene Kurve (£", welche die in 4, 1 und 4, 2 auf-
gezählten Eigenschaften und die Darstellung
x = cp (f), y = V’ (f), — n < n
besitzt, erfolgt genau wie für beschränkte Bogen.
Es bleibt daher nur noch übrig, W bzw. die y (£), y (t) ordnungs-
fest und e-gleichmäßig durch trigonometrische Polynome zu ap-
proximieren. Diese letzteren kann man aber wiederum so ein-
richten, daß sie bezüglich der Wendepunkte die in 5,1 angegebenen
Eigenschaften besitzen. Das ist möglich, weil sich auch für die
trigonometrischen Polynome die beim Beweise von 5, 1 benutzte
Interpolationsaufgabe lösen läßt. In der Tat: Es seien tY,...,tk
die Parameterwerte, durch welche die Wendepunkte auf <S" be-
stimmt sind. 0. B. d. A. kann angenommen werden, daß die tx
sämtlich von — n, 0 und n verschieden sind und daß tx 0
für alle % pt; x, y= 1,..., k. Es soll dann ein trigonometrisches
Polynom p (t) = P (cos f) so bestimmt werden, daß p(f) nebst
seinen drei ersten Ableitungen in den ty vorgegebene Werte an-
nimmt; dabei bezeichnet P (z) ein (gewöhnliches) Polynom in z.
Setzt man z = cos t, zx = cos tx, so sind die zx sämtlich verschieden.
Ferner entnimmt man aus
usw., daß die Ableitungen von p(t) nach t und die von P(z)
nach z einander ein-eindeutig entsprechen (wenigstens für t = ty_,
z = zx), und daß die einen sich als lineare Funktionen der anderen
darstellen lassen (mit stetigen Koeffizienten). Daher ist mit p (tx),
p' (tx) usw. auch P(zx), P'(zx) usw. gegeben. Ist also P(z) ein