Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Orclnungsfeste Annäherung ebener Bogen
Polynom, welches für Z = zK besagte Werte annimmt, so ist
P(cos^) ein trigonometrisches Polynom mit


Aus der oben erwähnten Darstellung von p' ,p" usw. als lineare
Funktionen von P', P" usw. ergibt sich überdies, daß die p', p"
u. s. w. gleichmäßig absolut beliebig klein sind, wenn dies für die
P', P" u. s. w. zutrifft, also insbesondere, wenn die p (tß), p' (tß)
u. s. w. absolut hinreichend klein sind. Ferner gilt der früher (Nr. 5,1)
benutzte Satz über die gleichmäßige Approximation der Ableitungen
in solchen abgeschlossenen Intervallen, in welchen die Ableitungen
stetig sind, auch für die Approximation durch trigonometrische
Polynome — geeignete Wahl der Polynome vorausgesetzt1’). Damit
sind alle Voraussetzungen gegeben, welche man zur Führung des
Beweises für die Ordnungsfestigkeit der in Rede stehenden analy-
tischen «-Näherung benötigt. (Vgl. den Beweis in Nr. 5,3 und
5,4). Wir haben also:
6, 1. Satz: Jede beschränkte geschlossene Kurve9) der Ordnung
n kann ordnungsfest und e-gleichmäßig approximiert werden durch
in sich geschlossene analytische Kurven ohne Spitzen.

Nachtrag.
Zur Rechtfertigung der oben im Text benutzten Konstruktionen
bemerken wir schließlich folgendes:
1. Ein im Kleinen r-mal stetig differenzierbarer Bogen ist
r-mal stetig differenzierbar auch im Großen. Es sei also 93 ein
Bogen von folgender Eigenschaft: Zu jedem Punkte P von 93 ge-
hört eine Umgebung von P auf 93, welche bezüglich eines passend
gewählten Koordinatensystems x,y darstellbar ist durch
x = a(t), y = ß(t)
mit ct<O<^b, wobei a und/? stetige Ableitungen nach t bis zur
Ordnung r einschließlich besitzen (r i> 1), und wobei | a \ -|-1 /?' j > 0
in [«, b]. Wir behaupten: Es gibt r-mal stetig differenzierbare
Funktionen f(f), g(ßt) in [«*, ö*J, mittels welcher der ganze Bogen
93 darstellbar ist durch x = f(t), y=g(t) bezüglich eines festen