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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0020
20
Otto Haupt
rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystems x,y. Dabei kann
und soll \f' \-\-\g' 3> 0 verlangt werden in [a*, Z?*j.
Beweis: Wir können 53 mit endlich vielen Teilbogen ,...,
überdecken und annehmen, daß den Anfangs- und den
Endpunkt von 53 enthält, ferner daß Xj und Xj -1 je einen Teil-
bogen von 53 gemeinsam haben. Ferner genügt es, die Behauptung
für m = 2 zu rechtfertigen. O. B. d. A. können wir und £2 als
auf das gleiche Koordinatensystem bezogen annehmen, also setzen:
x = A (0 > Z/ = £7i (0 bzw. x = A (?), g = g.2 (?). Für Z = Zo bzw.
t = r0 erhalte man einen gemeinsamen Punkt P() von und X.2,
welcher übrigens so gewählt werden kann, daß in ihm A> A> £Zi> g>
sämtlich eine von Null verschiedene erste Ableitung besitzen.
Dann haben wir also an Stelle etwa von i einen neuen Parameter
er einzuführen: T = ?(a), wobei r(a) monoton wächst mit a und
beliebig oft stetig differenzierbar ist; ferner muß 70 = 7(A) sein und
A\ = /A\ /\ = (d^gA
\dtQJt = t0 \ d aQJ <j — A’ \cltQJ t = t0 <j=t0’
q = 1 , r.
Durch diese Gleichungen sind die Werte der r ersten Ableitungen
von t(o) für v = A festgelegt. Ein allen diesen Forderungen ge-
nügendes i (er) ist stets konstruierbar.
2. Bezüglich des JuEL’schen Verfahrens der ordnungsfesten
Abrundung (vgl. oben im Text Nr. 4) ist noch zu bemerken, daß die
von uns betrachteten Bogen auch immer durch solche konvexe
Bogen abgerundet werden können, welche stückweise regulär sind.
In allen Fällen ist nämlich die Situation jeweils folgende: Gegeben
sind zwei regulär-konvexe Bogen und S2, welche den gemein-
samen Endpunkt O besitzen, welche im übrigen fremd sind, und
deren andere Endpunkte Q und C2 beliebig nahe bei O gewählt
werden können. Wir verfügen über Ct und C2 so, daß die Strecke
CL C2 außer Ct und C2 keine Punkte mit (A und S2 gemeinsam hat,
und daß weder die Tangente tx in Cr an noch die Tangente
t2 in C-2 an @2 mit C\ C2 inzidiert. Gesucht ist ein stückweise re-
gulärer Konvexbogen V mit stetiger Tangente, welcher CY mit C.2
verbindet, welcher der konvexen Hülle von + G2 angehört und
welcher in C\ bzw. C.2 die gleiche Halbtangente besitzt, wie (A
bzw. S2. Zur Konstruktion von $ zeichnen wir zwei fremde
Kreise f2, welche tt bzw. t2 in bzw. C2 berühren und deren
Durchschnitt mit der durch die Trägergerade von Cr C.2 und durch
Otto Haupt
rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystems x,y. Dabei kann
und soll \f' \-\-\g' 3> 0 verlangt werden in [a*, Z?*j.
Beweis: Wir können 53 mit endlich vielen Teilbogen ,...,
überdecken und annehmen, daß den Anfangs- und den
Endpunkt von 53 enthält, ferner daß Xj und Xj -1 je einen Teil-
bogen von 53 gemeinsam haben. Ferner genügt es, die Behauptung
für m = 2 zu rechtfertigen. O. B. d. A. können wir und £2 als
auf das gleiche Koordinatensystem bezogen annehmen, also setzen:
x = A (0 > Z/ = £7i (0 bzw. x = A (?), g = g.2 (?). Für Z = Zo bzw.
t = r0 erhalte man einen gemeinsamen Punkt P() von und X.2,
welcher übrigens so gewählt werden kann, daß in ihm A> A> £Zi> g>
sämtlich eine von Null verschiedene erste Ableitung besitzen.
Dann haben wir also an Stelle etwa von i einen neuen Parameter
er einzuführen: T = ?(a), wobei r(a) monoton wächst mit a und
beliebig oft stetig differenzierbar ist; ferner muß 70 = 7(A) sein und
A\ = /A\ /\ = (d^gA
\dtQJt = t0 \ d aQJ <j — A’ \cltQJ t = t0 <j=t0’
q = 1 , r.
Durch diese Gleichungen sind die Werte der r ersten Ableitungen
von t(o) für v = A festgelegt. Ein allen diesen Forderungen ge-
nügendes i (er) ist stets konstruierbar.
2. Bezüglich des JuEL’schen Verfahrens der ordnungsfesten
Abrundung (vgl. oben im Text Nr. 4) ist noch zu bemerken, daß die
von uns betrachteten Bogen auch immer durch solche konvexe
Bogen abgerundet werden können, welche stückweise regulär sind.
In allen Fällen ist nämlich die Situation jeweils folgende: Gegeben
sind zwei regulär-konvexe Bogen und S2, welche den gemein-
samen Endpunkt O besitzen, welche im übrigen fremd sind, und
deren andere Endpunkte Q und C2 beliebig nahe bei O gewählt
werden können. Wir verfügen über Ct und C2 so, daß die Strecke
CL C2 außer Ct und C2 keine Punkte mit (A und S2 gemeinsam hat,
und daß weder die Tangente tx in Cr an noch die Tangente
t2 in C-2 an @2 mit C\ C2 inzidiert. Gesucht ist ein stückweise re-
gulärer Konvexbogen V mit stetiger Tangente, welcher CY mit C.2
verbindet, welcher der konvexen Hülle von + G2 angehört und
welcher in C\ bzw. C.2 die gleiche Halbtangente besitzt, wie (A
bzw. S2. Zur Konstruktion von $ zeichnen wir zwei fremde
Kreise f2, welche tt bzw. t2 in bzw. C2 berühren und deren
Durchschnitt mit der durch die Trägergerade von Cr C.2 und durch