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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0021
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Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
den Punkt O bestimmten Halbebene ganz dem durch + , (£2 und
Q C2 begrenzten abgeschlossenen Bereiche E angehört. Nun sind
aber Q und C2 innere Punkte von regulär konvexen Bogen, daher
gibt es immer Kreise der gewünschten Beschaffenheit. Man kon-
struiert ferner einen Kreis f3, welcher durch und t2 von innen
berührt wird; die Berührpunkte Vlt V2 sollen dabei im Innern von
E und zwar so liegen, daß ein V\ und V2 verbindender Teilbogen
£3 von f3 ganz zu E gehört. Ist noch + bzw. £2 der kürzeste
Teilbogen auf bzw. f2, durch welchen und bzw. C2 und V2
verbunden wird, so liefert = + 4- + 4- ~2 den gesuchten stück-
weise regulären Konvexbogen. Da X' sicher der abgeschlossenen
konvexen Hülle von 4- + angehört, so ist die Abrundung ge-
wiß ordnungsfest, sobald C\ und C., hinreichend nahe bei 0 liegen,
nämlich so nahe, wie es für die Gültigkeit von Satz 2,2 erforder-
lich ist.
3. a) Bei der Glättung auch der zweiten Ableitungen zunächst
außerhalb der Umgebung der Wendepunkte (vgl. oben im Text
Beweis von 4, 1) handelt es sich um die Lösung der folgenden
„Randwertaufgabe“: Gegeben sind zwei Punkte A und B, welche
übrigens beliebig benachbart gewählt werden können, aber
alsdann festzuhalten sind. A und B sind verbunden durch einen
stetig differenzierbaren, keine Teilstrecken enthaltenden Konvex-
bogen :
= 77 = ^1 (0> a<7<+;
in t = a und in £ = ö sollen auch die zweiten Ableitungen von
und gv existieren, soll die Krümmung von Null verschieden und
f\ \ 4~ ! g\ | 4> 0 sein. Gesucht ist ein A und B verbindender,
zweimal stetig differenzierbarer Konvexbogen + mit überall von
von Null verschiedener Krümmung:
x = ft (A,y = <h(0, a<Lt<.b,
für welchen /2 und g2 nebst ihren zwei ersten Ableitungen in
t = a und t = b die gleichen Werte haben wie ß und gr bzw.
wie deren entsprechende Ableitungen, und welcher überdies
flacher ist als Übrigens soll längs des abgeschlossenen Bogen
+ stets 1/4 | + | + | > 0 sein.
0. B. d. A. kann
A («) = <71 («) = 0; A (ö) = 1, g{ (b) = 0
angenommen werden, sowie
Ai («) > 0, g\ (o) > 0; f\ (b) > 0, g\ (b) < 0.
Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen
den Punkt O bestimmten Halbebene ganz dem durch + , (£2 und
Q C2 begrenzten abgeschlossenen Bereiche E angehört. Nun sind
aber Q und C2 innere Punkte von regulär konvexen Bogen, daher
gibt es immer Kreise der gewünschten Beschaffenheit. Man kon-
struiert ferner einen Kreis f3, welcher durch und t2 von innen
berührt wird; die Berührpunkte Vlt V2 sollen dabei im Innern von
E und zwar so liegen, daß ein V\ und V2 verbindender Teilbogen
£3 von f3 ganz zu E gehört. Ist noch + bzw. £2 der kürzeste
Teilbogen auf bzw. f2, durch welchen und bzw. C2 und V2
verbunden wird, so liefert = + 4- + 4- ~2 den gesuchten stück-
weise regulären Konvexbogen. Da X' sicher der abgeschlossenen
konvexen Hülle von 4- + angehört, so ist die Abrundung ge-
wiß ordnungsfest, sobald C\ und C., hinreichend nahe bei 0 liegen,
nämlich so nahe, wie es für die Gültigkeit von Satz 2,2 erforder-
lich ist.
3. a) Bei der Glättung auch der zweiten Ableitungen zunächst
außerhalb der Umgebung der Wendepunkte (vgl. oben im Text
Beweis von 4, 1) handelt es sich um die Lösung der folgenden
„Randwertaufgabe“: Gegeben sind zwei Punkte A und B, welche
übrigens beliebig benachbart gewählt werden können, aber
alsdann festzuhalten sind. A und B sind verbunden durch einen
stetig differenzierbaren, keine Teilstrecken enthaltenden Konvex-
bogen :
= 77 = ^1 (0> a<7<+;
in t = a und in £ = ö sollen auch die zweiten Ableitungen von
und gv existieren, soll die Krümmung von Null verschieden und
f\ \ 4~ ! g\ | 4> 0 sein. Gesucht ist ein A und B verbindender,
zweimal stetig differenzierbarer Konvexbogen + mit überall von
von Null verschiedener Krümmung:
x = ft (A,y = <h(0, a<Lt<.b,
für welchen /2 und g2 nebst ihren zwei ersten Ableitungen in
t = a und t = b die gleichen Werte haben wie ß und gr bzw.
wie deren entsprechende Ableitungen, und welcher überdies
flacher ist als Übrigens soll längs des abgeschlossenen Bogen
+ stets 1/4 | + | + | > 0 sein.
0. B. d. A. kann
A («) = <71 («) = 0; A (ö) = 1, g{ (b) = 0
angenommen werden, sowie
Ai («) > 0, g\ (o) > 0; f\ (b) > 0, g\ (b) < 0.