Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Haupt

Unsere Aufgabe zerfällt jetzt in folgende zwei:
I. Eine monoton wachsende zweimal stetig differenzierbare
Funktion /2 (f) zu konstuieren mit
(a) = («) - /? (ö) = (P)’ (> = 0,1,2.
II. Alsdann vermöge x = f2 (t) statt des Parameters t das x
als Parameter einzuführen und eine zweimal stetig differenzierbare
Funktion y = g2 [/ (x)J = /? (x) zu konstruieren, welche konvex ist
und die „Randwerte“
ft(0)=fi(l)=0; /i'(0) = ^)>0,ft'(l) = ^^<0;
h" (0), Ä"<1)
besitzt. Außerdem soll der Konvexbogen $2 flacher sein als
und die Krümmung von $2 soll nirgends Null sein.
Beide Aufgaben lassen sich lösen, indem man etwa die
gesuchte Funktion gleichsetzt dem Integral aus einer monotonen
stetig differenzierbaren Funktion //($), wobei insbesondere über
die Randwerte von H und H' passend zu verfügen ist.
3. b) Die Glättung in den Wendepunkten selbst (vgl. oben im
Text, Beweis von 4, 1) reduziert sich auf die unter a) gelöste
Aufgabe. Man denke sich nämlich das Koordinatensystem so
gedreht, und eventuell umgelegt, daß der Wendepunkt W in den
Nullpunkt, die neue Wendetangente h aber in die x-Achse fällt,
ferner daß der Bogen in der Umgebung von W im ersten und
dritten Quadranten verläuft. Man ersetzt nun -j- in hin-
reichend kleiner Umgebung von W etwa durch einen Teilbogen
R'S' von y = x3 und schließt dann die beiden noch vorhandenen
Lücken zwischen R und R' bzw. zwischen S und Sr gemäß der
in a) angegebenen Konstruktion.