Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Dynamische Äquivalenzprobleme.

(A. 17)5

(5)

+ y' + z' = r

/dx'
\dr

+

+

-

identisch erfüllt sind. Da in den Gleichungen (5) die Kräfte-
funktion fl (r) nicht vorkommt, so gilt die Äquivalenz hei beliebiger
Annahme der wirkenden Zentralkraft.
Hiernach sind einer gegebenen Kurve in bezug auf ein ge-
gebenes Zentrum unzählig viele äquivalente Kurven zngeordnet.
Man darf nämlich für z eine beliebige Funktion f(r) nehmen und
hat darauf x und y aus den Gleichungen

(O


v + = e — f (r) = g'S(r),


— f'^(r) = fp(r)

zu bestimmen. Diese Aufgabe führt bei dem Ansatz

(7)

x = g (r) cos b, y = g (r) sin &

auf die Differentialgleichung

/db\ 2_fp(r) — g'^(r)
\dr/ r^

aus der sich die Hilfsgröße b mittels einer Quadratur ergibt.
Im besonderen sind unter den äquivalenten Kurven auch solche
ebenenKurven enthalten, in deren Ebene das Kraftzentrum
liegt. Wie man leicht erkennt, sind alle diese Kurven kongruent,
sodaß es im Grunde nur eine Lösung gibt. Dm diese ebenen Kurven
zu erhalten, genügt es daher, etwa z — 0 zu setzen, was auf die
Formeln führt:
(9) x = r cos b, y = r sin b,

(10)

/c!b\ s_qW(r) — 1
\dr/ " H ^

in ihnen bedeuten r und b Polarkoordinaten der Kurve in bezug
auf das Zentrum G. Aus der Gleichung (10) folgt, daß die Rekti-
fikation der gefundenen Kurve durch die Gleichung
(1') s = (p (r) -}- const.
geleistet wird.
Die Ergebnisse der vorhergehenden Untersuchung lassen sich
zusammen fassen in den