Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Dynamische Äquivalenzproblenie.

(A.17)17

und einen größten Wert besitze; diese äußersten Werte
sind notwendig TT(ri) und PI(rg). Unter den angegebenen
Voraussetzungen erhält man alle möglichen Bewegungen
des Punktes, wenn man die Stelle des Maximums der
Kräftefunktion zum Anfangspunkt der Bewegung macht;
ausgeschlossen bleibt dann nur die Ruhe des Punktes an
der Stelle des Minimums der Kräftefunktion.
Bei denselben Bezeichnungen wie in § 2 erfolgt die Bewegung
des Punktes gemäß der Differentialgleichung


die additive Konstante der Kräftefunktion ist dabei so bestimmt
worden, daß Pt(r) in dem zunächst beliebig zu wählenden Anfangs-
punkt der Bewegung verschwindet, was auf die Lage der Maxirna
und Minima keinen Einfluß hat.
Jetzt sind drei Fälle zu unterscheiden:
I. Der Ausdruck 2v^-}-21T(r) ist auf der ganzen Kurve
größer als Null. Dann behält ^ stets das Vorzeichen von w,
dt
und der Punkt bewegt sich immer in demselben Sinne durch die Kurve,
sodaß die Stelle des Maximums der Kräftefunktion unzählig oft
überschritten wird. Damit ist die Behauptung für den Fall I be-
wiesen.
II. Es gibt einen Wert von r zwischen r^ und rg, diese
Werte selbst ausgeschlossen, für den der Ausdruck
v^-t-2IT(r) verschwindet. Weil dieser Ausdruck, wenn rvoniq
bis rg wächst, nach den Voraussetzungen beständig zunimmt oder
beständig abnimmt, so kann es nur diesen einen Wert von r geben, der
bewirkt, daß ^ verschwindet, und zwar geschieht das in den beiden
Punkten U' und U" der Kurve, die diesem Werte von r eindeutig
zugeordnet sind. Durch die Punkte U' und U" wird die Kurve in
zwei Teile zerlegt. In dem einen, dem die Stelle des Minimums
von IT(r) angehört, ist der Ausdruck v^ 211 (r) negativ, in dem
andern, der die Stelle des Maximums von TT(r) aufweist, positiv.
Eine Bewegung des Punktes ist daher nur in diesem zweiten Teile
der Kurve möglich. Die Art der Bewegung hängt davon ab, wie
sich das vom Anfangspunkt der Bewegung aus zu erstreckende
Integral