Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

18(A.17)

Paul Stäckel:

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t -

ds
V(v^ -j-2fr(r)

verhält, wenn man sich einem der Punkte U' oder U" nähert. Bleibt
das Integral endlich, so erhält man einen Umkehrpunkt; wächst
es über alle Grenzen, so findet asymptotische Annäherung statt.
Bei jeder der vier Möglichkeiten, zu denen man auf diese Weise
gelangt, gehört die Stelle des Maximums der Kräftefunktion zum
Bewegungsgebiet des Punktes, und damit ist die Behauptung für
den Fall II bewiesen.
III. Der Ausdruck v^ -j-2H(r) verschwindet für einen
der Werte oder rg. Geschieht es für die Stelle des Maximums
der Kräftefunktion, so ist dieser Ausdruck sonst überall negativ,
mithin muß der materielle Punkt an dieser Stelle ruhen, und zwar
befindet er sich in stabilem Gleichgewicht. Geschieht es für die
Stelle des Minimums, so kann der Punkt dort ebenfalls ruhen, und
zwar in labilem Gleichgewicht. Der Punkt kann sich aber auch
bewegen, weil der Ausdruck v^ -j- 9H(r), abgesehen von der Stelle
des Minimums, überall größer als Null ist. Dann gehört die Stelle
des Maximums zu seinem Bewegungsgebiet. Damit ist der Fall 111
erledigt und der Beweis vollendet.
Der Lehrsatz 3 läßt sich in Beziehung bringen zu einem be-
kannten Theorem, das J. HADAMARD für die Bewegung eines materiel-
len Punktes auf einer krummen Fläche gefunden haUj. Es wird
vorausgesetzt, daß eine Kräftefunktion existiert und daß diese auf
den Bahnen des bewegten Punktes im allgemeinen unendlich oft
maximale und minimale Werte erhält. Während man über die
Verteilung der Minima nichts aussagen kann, ist es möglich, ledig-
lich auf Grund der Kenntnis des Linienelements der Fläche und
der Kräftefunktion eine Region der Fläche anzugeben, die sämtliche
Stellen der Maxirna in sich schließt; diese Region kann übrigens
aus getrennten Stücken bestehen. Weil der bewegte Punkt im
Laufe der Zeit immer wieder in das Gebiet der Maxirna zurück-
kehrt, wird dieses von HADAMARD anziehende Region genannt.
HADAMARD selbst hat darauf hingewiesen, daß der anziehenden Re-
gion bei der Bewegung eines materiellen Punktes auf einer festen
Kurve die Gesamtheit der Punkte entspricht, in denen die Kräfte-
funktion ein Maximum besitzt. Im allgemeinen besteht die Bewegung

') J. HADAMARD, 67p* ^ Journ.
de math. (5) 3 (1897), S. 331; siehe besonders S. 338—339.