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https://doi.org/10.11588/diglit.37321#0019
Dynamische ÄquivaienzproMeme.
(A. 17)19
des Punktes in Schwingungen um eine dieser Steilen stabilen Gleich-
gewichts, und dabei muh der Punkt unzählig oft zu der betreffenden
Stelle des Maximums zurückkehren. Im allgemeinen wird es daher
nicht möglich sein, eine Anfangslage anzugeben, die, bis auf singu-
läre Fälle, alle möglichen Bewegungen des Punktes liefert; damit
dies eintritt, werden vielmehr über Kurve und Kräftefunktion be-
sondere Voraussetzungen gemacht werden müssen, wie das im Lehr-
satz 3 geschehen ist.
Es bleibt übrig, den Lehrsatz 3 auf den Fall anzuwenden, daß
die Kurve ein Kreis vom Halbmesser a ist und die Kräftefunktion,
die Form gr" hat. Da die triviale Annahme n — 0 ausscheidet, sind
nur zwei Möglichkeiten zu unterscheiden:
I. Der Exponent n ist negativ. Dann ist die Stelle A^, an
der r den kleinsten Wert hat, die Stelle des Maximums der Kräfte-
funktion, und man erhält die Gesamtheit der Bewegungen des
Punktes, wenn rQ = r^ gesetzt wird. Hieraus folgt r'o = r\, so daß
die zugeordnete Bewegung ebenfalls im Punkte A^ beginnt.
II. Der Exponent n ist positiv. Dann ist die Stelle A^
die Stelle des Maximums der Kräftefunktion. Man hat daher in
den vorher angestellten Betrachtungen überall lq und r^ zu ver-
tauschen; im besonderen beginnen jetzt die Bewegungen im
Punkte Ag.
Hiermit ist als Ergebnis folgender Lehrsatz gewonnen:
Z Ein materieller Punkt bewege sich auf
einem Kreise und werde von einem irgendwo im Raume
befindlichen Zentrum der Masse g mit einer Kraft ange-
zogen, deren Kräftefunktion der n-ten Potenz der Ent-
fernung des Punktes vom Zentrum proportional ist. Wird
der Durchmesser des Kreises, in dessen Endpunkten die
Entfernung ihren größten und kleinsten Wert annimmt,
innerlich und äußerlich im Verhältnis dieser beiden
Werte geteilt und in der Ebene, die senkrecht zur Ebene
des Kreises steht und durch die Teilpunkte geht, mit der
Strecke zwischen den Teilpunkten als Durchmesser der
Kreis beschrieben, so läßt sich jeder Punkt C dieses
Kreises mit einer solchen Masse g' versehen, daß bei dem-
selben Anziehungsgesetz die Bewegungen in bezug aufC
den Bewegungen in bezug auf C' äquivalent sind, und
zwar sind dabei die Bewegungen einander zugeordnet,
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des Punktes in Schwingungen um eine dieser Steilen stabilen Gleich-
gewichts, und dabei muh der Punkt unzählig oft zu der betreffenden
Stelle des Maximums zurückkehren. Im allgemeinen wird es daher
nicht möglich sein, eine Anfangslage anzugeben, die, bis auf singu-
läre Fälle, alle möglichen Bewegungen des Punktes liefert; damit
dies eintritt, werden vielmehr über Kurve und Kräftefunktion be-
sondere Voraussetzungen gemacht werden müssen, wie das im Lehr-
satz 3 geschehen ist.
Es bleibt übrig, den Lehrsatz 3 auf den Fall anzuwenden, daß
die Kurve ein Kreis vom Halbmesser a ist und die Kräftefunktion,
die Form gr" hat. Da die triviale Annahme n — 0 ausscheidet, sind
nur zwei Möglichkeiten zu unterscheiden:
I. Der Exponent n ist negativ. Dann ist die Stelle A^, an
der r den kleinsten Wert hat, die Stelle des Maximums der Kräfte-
funktion, und man erhält die Gesamtheit der Bewegungen des
Punktes, wenn rQ = r^ gesetzt wird. Hieraus folgt r'o = r\, so daß
die zugeordnete Bewegung ebenfalls im Punkte A^ beginnt.
II. Der Exponent n ist positiv. Dann ist die Stelle A^
die Stelle des Maximums der Kräftefunktion. Man hat daher in
den vorher angestellten Betrachtungen überall lq und r^ zu ver-
tauschen; im besonderen beginnen jetzt die Bewegungen im
Punkte Ag.
Hiermit ist als Ergebnis folgender Lehrsatz gewonnen:
Z Ein materieller Punkt bewege sich auf
einem Kreise und werde von einem irgendwo im Raume
befindlichen Zentrum der Masse g mit einer Kraft ange-
zogen, deren Kräftefunktion der n-ten Potenz der Ent-
fernung des Punktes vom Zentrum proportional ist. Wird
der Durchmesser des Kreises, in dessen Endpunkten die
Entfernung ihren größten und kleinsten Wert annimmt,
innerlich und äußerlich im Verhältnis dieser beiden
Werte geteilt und in der Ebene, die senkrecht zur Ebene
des Kreises steht und durch die Teilpunkte geht, mit der
Strecke zwischen den Teilpunkten als Durchmesser der
Kreis beschrieben, so läßt sich jeder Punkt C dieses
Kreises mit einer solchen Masse g' versehen, daß bei dem-
selben Anziehungsgesetz die Bewegungen in bezug aufC
den Bewegungen in bezug auf C' äquivalent sind, und
zwar sind dabei die Bewegungen einander zugeordnet,