Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Das Raumfünfeck und die dadurch bestimmten Poiarfetder. (A. 16) 15

Dann hat die Kernfläche des polaren Raumes, der durch das
Poltetraeder ct ß y & und durch den Punkt y als Pol der Ebene e
bestimmt ist, in den Hülfskoordinaten (3) die Gleichung

(5)
Es sind also

(6)

u' 2
X l
v' 2
-+ f
v' 2
+ f +
v' 2
J — 0
y'i
y 2
ys
y^
— 2 ^
— 2
C„(x)
^ Um(x)
+ Un(x)
U„(y)
V(y)
U„(y)
U,(y)

(k, 1, m, n = 1, 3, 3, 4, 5)

die Gleichungen der Kernflächen in fünf polaren Räumen, von denen
jeder das durch P und y bestimmte Polarbündel enthält. Dessen
Kernkegel ist somit gemeinsamer Tangentenkegel dieser fünf Flächen.
Liegt nun der Punkt y in einem M?'6fe<7?A.scAe% Gebiet von P,
so ist nach XIV der fünf Konstanten Ff (y) den übrigen un-
gleich signiert; es sind also dann vier von den Flächen (6) nicht-
geradlinig, und die fünfte ist imaginär. Folglich muh der Kernkegel
des Polarbündels imaginär und dieses selbst c^^fscA sein. Liegt
dagegen y in einem Gebiet von P, so sind von den
Flächen (6) zwei nichtgeradlinig und drei geradlinig, und da die letz-
teren reelle Tangentenkegel besitzen, hat das Polarbündel jetzt
einen reellen Kern und ist also /M/pey&oh'gcA. Damit ist XP noch-
mals bewiesen.
Endlich folgt noch aus (5) unter Eenutzung von (4) für den
Kernkegel des Polarbündels die Gleichung

2
1

X

? 2
3

' 2 ^
y'z y's

*7 _p x

' 2
5

= o.

y i y h y k y h y 5
also nach (3) in Koordinaten die elegante
Darstellung e ^
(7) ^Ui(x)

y bh) ^ o.
4-W(y)

in der außer den Koordinaten der Spitze y nur die die Idenität (2)
erfüllenden Gleichungen (1) der Seiten von P auftreten.
Getrachtet man (t) als die Gleichungen der eines Raum-
fünfecks 9t und die y. als Koordinaten einer ihm nicht angehörigen
-rr, so ist durch die Gleichung (7) der Kernkegelschnitt des
durch 9t in der Ebene n bestimmten Polarfelds als Fläche zweiter
Klasse dargestellt.