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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0003
Im folgenden will ich einen Bericht geben über vornehmlich
algebraische Untersuchungen aus der Theorie der Differential-
systeme, die ich angestellt habe. Sie bezwecken, vor allem dem
Zusammenhang nachzugehen, der zwischen einem System linearer
homogener Differentialausdrücke erster Ordnung für n Funktio-
nen und einem einzelnen linearen homogenen Differentialaus-
druck Ordnung^) für eine Funktion, von mir Sequente ge-
nannt (vgl. § 4), besteht. Im übrigen beziehen sich die folgenden
Untersuchungen auf den Artbegriff bei einzelnen Differentialaus-
drücken und bei Differentialsystemen, außerdem haben sie die
Irreduzibilität und vollständige Reduzibilität bei Differential-
systemen zum Gegenstand. Soweit nicht anders bemerkt oder
von Integralen die Rede ist, verlangen die Sätze und ihre Beweise
nicht die Integralexistenz; sie sind daher auch über das Gebiet
der Differentialsysteme hinaus einer Verallgemeinerung fähig, in-
dem man einen in abstrakter Weise definierten Rationalitäts-
bereich zugrunde legt. Da die folgenden Sätze eine Reihe von
zum Teil neu eingeführten Begriffen voraussetzen, unterlasse ich
es, auf sie hier im einzelnen hinzuweisen. Auf die Resultate, die
wir für Differentialsysteme mit n Funktionen Herrn L. ScHLE-
siNGER bereits verdanken, werde ich im folgenden (§ 4, § 6 und
§ 7) aufmerksam machen. Die Beweise sowie eine weitere Aus-
gestaltung und Fortführung bleiben einer ausführlichen Publi-
kation Vorbehalten.
Den anzustellenden Untersuchungen liegt ein Rationalitäts-
bereich E zugrunde, d.hF) irgend ein in sich vollständiges System
von eindeutigen Funktionen einer unabhängigen Variablen x,
!) Unter ,,Differentialausdruck" soll stets ein ,,linearer homogener
Differentialausdruck beliebiger Ordnung", unter einem ,,Differentialsystem"
mit Ausnahme von § 7, Satz IV ,,ein System linearer homogener Diffe-
rentialausdrücke erster Ordnung" verstanden werden.
2) Vgl. wegen der Definition des Rationalitätsbereiches z. B. meine Arbeit
,,Über vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen",
Math. Annalen 62 (S. 89—117), S. 90 (1905).
l*
algebraische Untersuchungen aus der Theorie der Differential-
systeme, die ich angestellt habe. Sie bezwecken, vor allem dem
Zusammenhang nachzugehen, der zwischen einem System linearer
homogener Differentialausdrücke erster Ordnung für n Funktio-
nen und einem einzelnen linearen homogenen Differentialaus-
druck Ordnung^) für eine Funktion, von mir Sequente ge-
nannt (vgl. § 4), besteht. Im übrigen beziehen sich die folgenden
Untersuchungen auf den Artbegriff bei einzelnen Differentialaus-
drücken und bei Differentialsystemen, außerdem haben sie die
Irreduzibilität und vollständige Reduzibilität bei Differential-
systemen zum Gegenstand. Soweit nicht anders bemerkt oder
von Integralen die Rede ist, verlangen die Sätze und ihre Beweise
nicht die Integralexistenz; sie sind daher auch über das Gebiet
der Differentialsysteme hinaus einer Verallgemeinerung fähig, in-
dem man einen in abstrakter Weise definierten Rationalitäts-
bereich zugrunde legt. Da die folgenden Sätze eine Reihe von
zum Teil neu eingeführten Begriffen voraussetzen, unterlasse ich
es, auf sie hier im einzelnen hinzuweisen. Auf die Resultate, die
wir für Differentialsysteme mit n Funktionen Herrn L. ScHLE-
siNGER bereits verdanken, werde ich im folgenden (§ 4, § 6 und
§ 7) aufmerksam machen. Die Beweise sowie eine weitere Aus-
gestaltung und Fortführung bleiben einer ausführlichen Publi-
kation Vorbehalten.
Den anzustellenden Untersuchungen liegt ein Rationalitäts-
bereich E zugrunde, d.hF) irgend ein in sich vollständiges System
von eindeutigen Funktionen einer unabhängigen Variablen x,
!) Unter ,,Differentialausdruck" soll stets ein ,,linearer homogener
Differentialausdruck beliebiger Ordnung", unter einem ,,Differentialsystem"
mit Ausnahme von § 7, Satz IV ,,ein System linearer homogener Diffe-
rentialausdrücke erster Ordnung" verstanden werden.
2) Vgl. wegen der Definition des Rationalitätsbereiches z. B. meine Arbeit
,,Über vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen",
Math. Annalen 62 (S. 89—117), S. 90 (1905).
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