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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0005
Über lineare homogene Differentialsysteme. (A. 17) 5
durchläuft, so hat die Differentialgleichung B = 0 stets eine Ord-
nung m Sk n, wenn n die Ordnung der Differentialgleichung A = 0
bedeutet. Für den Fall m = n hat PoiNCARE 1884 diese Unter-
suchungen begonnen, und nach ihm heißen zwei Differentialaus-
drücke A und B derselben Ordnung m = n, die in dem geschilderten
Verhältnis stehen, von derselben Art. Im Falle gleicher Ordnung
m = n beweist man die Symmetrie der zwischen A und B statt-
findenden Beziehung, d. h. man weist die Existenz eines Differential-
ausdruckes Q mit Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche
nach, so daß das Funktionensystem Q(Zß) übereinstimmt mit
den Integralen der Differentialgleichung A = 0, wenn Zs alle
Integrale der Differentialgleichung B = 0 durchläuft. Infolge
dieser Umkehrbarkeit der Beziehung verwendet man im Falle
m = n auch die Bezeichnung ,,gegenseitig von derselben Art". Im
Falle m<n, für den das Verhältnis zwischen A und B nicht um-
kehrbar ist, soll der Differentialausdruck B als dem Dif-
ferentialausdruck A subordiniert bezeichnet werden.
Bleibt es unentschieden, ob m=n oder m-<n ist, so werde
ich sagen, daß B in der durch A bestimmten Art enthalten
ist, oder daß B sich innerhalb der Art von A befindet^).
§ 2.
Der Artbegriff für einen Differentialausdruck bei
Verwendung der symbolischen Produktbildung von
Differentialausdrücken.
Die in § 1 dafür gegebene Definition, daß B in der durch A
bestimmten Art enthalten ist, wollen wir als Definition (D) be-
zeichnen; sie setzt Integralexistenz voraus. An ihre Stelle kann
man die folgende Definition treten lassen, die von der Integral-
existenz unabhängig ist und sich der symbolischen Produktbil-
dung linearer homogener Differentialausdrücke bedient^).
i) In meiner Arbeit ,,Über reduzible lineare homogene Differential-
gleichungen", Math. Annalen 56 (S. 549—584), 8. 554 (1903) hatte ich die
weniger prägnante Bezeichnung ,,B ist mit A von derselben Art". Ich schließe
mich hiermit der Terminologie von Herrn E. VESSioT in der Encyclopedie
des Sciences math. II. 16, Nr. 29, Anmerkung 188 an.
Ü Vgl. auch L. HEFFTER, Über gemeinsame Vielfache linearer Differential-
ausdrücke und lineare Differentialgleichungen derselben Klasse, Journal
für die reine und angewandte Mathematik 116, 8. 157—166, (1896).
L. ScHLEsiNGER, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichun-
gen, Bd. IR, Leipzig 1897, 8. 115 ff.
durchläuft, so hat die Differentialgleichung B = 0 stets eine Ord-
nung m Sk n, wenn n die Ordnung der Differentialgleichung A = 0
bedeutet. Für den Fall m = n hat PoiNCARE 1884 diese Unter-
suchungen begonnen, und nach ihm heißen zwei Differentialaus-
drücke A und B derselben Ordnung m = n, die in dem geschilderten
Verhältnis stehen, von derselben Art. Im Falle gleicher Ordnung
m = n beweist man die Symmetrie der zwischen A und B statt-
findenden Beziehung, d. h. man weist die Existenz eines Differential-
ausdruckes Q mit Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche
nach, so daß das Funktionensystem Q(Zß) übereinstimmt mit
den Integralen der Differentialgleichung A = 0, wenn Zs alle
Integrale der Differentialgleichung B = 0 durchläuft. Infolge
dieser Umkehrbarkeit der Beziehung verwendet man im Falle
m = n auch die Bezeichnung ,,gegenseitig von derselben Art". Im
Falle m<n, für den das Verhältnis zwischen A und B nicht um-
kehrbar ist, soll der Differentialausdruck B als dem Dif-
ferentialausdruck A subordiniert bezeichnet werden.
Bleibt es unentschieden, ob m=n oder m-<n ist, so werde
ich sagen, daß B in der durch A bestimmten Art enthalten
ist, oder daß B sich innerhalb der Art von A befindet^).
§ 2.
Der Artbegriff für einen Differentialausdruck bei
Verwendung der symbolischen Produktbildung von
Differentialausdrücken.
Die in § 1 dafür gegebene Definition, daß B in der durch A
bestimmten Art enthalten ist, wollen wir als Definition (D) be-
zeichnen; sie setzt Integralexistenz voraus. An ihre Stelle kann
man die folgende Definition treten lassen, die von der Integral-
existenz unabhängig ist und sich der symbolischen Produktbil-
dung linearer homogener Differentialausdrücke bedient^).
i) In meiner Arbeit ,,Über reduzible lineare homogene Differential-
gleichungen", Math. Annalen 56 (S. 549—584), 8. 554 (1903) hatte ich die
weniger prägnante Bezeichnung ,,B ist mit A von derselben Art". Ich schließe
mich hiermit der Terminologie von Herrn E. VESSioT in der Encyclopedie
des Sciences math. II. 16, Nr. 29, Anmerkung 188 an.
Ü Vgl. auch L. HEFFTER, Über gemeinsame Vielfache linearer Differential-
ausdrücke und lineare Differentialgleichungen derselben Klasse, Journal
für die reine und angewandte Mathematik 116, 8. 157—166, (1896).
L. ScHLEsiNGER, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichun-
gen, Bd. IR, Leipzig 1897, 8. 115 ff.