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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0007
Über lineare homogene Differentiaisysteme.
(A. 17) 7
die mit Ai von derselben Art sind. Man beweist ferner
ohhe die Integralexistenz, daß die eingeführte Beziehung
transitiv ist, d. h.:
Ist B in der durch A bestimmten Art, G in der durch
B bestimmten Art enthalten, so ist G auch in der durch
A bestimmten Art enthalten.
§ 3.
Der Artbegriff für einen Differentialausdruck bei
Verwendung des Matrizenkalküls.
Anstatt der Definition (A) des § 2 soll jetzt für die Artbe-
ziehung eine neue Definition gegeben werden. Diese bedient sich
nicht der symbolischen Produktbildung von Differentialausdrücken,
sondern des Matrizenkalküls. Ebenso wie die Definition (A) ist
die neue Definition unabhängig von der Integralexistenz.
Definition (AQ. Ein Differentialausdruck
B = bmlZ-}-bm2^-j-bbmm + (^m-
von der Ordnung m^n heißt in der durch einen Diffe-
rentialausdruck
A— , dv , , d^y , d^y i
A = a„ y + a„ - + a., + a,.+, ^ (n
bestimmten Art enthalten, wenn es eine Matrix
Pli
P12 '
Pin
P21
P22 '
P2n
Pml Pm2 *
Pmn
0
0 .
0
0
0 .
0
ö
0 .
0
vom Range m mit Elementen p^ (i -1, 2, . . . m; k - 1, 2,.. ., n)
aus dem Rationalitätsbereiche gibt, so daß die Glei-
chung zwischen quadratischen Matrizen n^ Grades
besteht. Hierbei bedeutet iß' diejenige Matrix, die aus
iß hervorgeht, wenn man in iß alle Elemente p& durch
ihre Differentialquotienten ersetzt; es ist
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die mit Ai von derselben Art sind. Man beweist ferner
ohhe die Integralexistenz, daß die eingeführte Beziehung
transitiv ist, d. h.:
Ist B in der durch A bestimmten Art, G in der durch
B bestimmten Art enthalten, so ist G auch in der durch
A bestimmten Art enthalten.
§ 3.
Der Artbegriff für einen Differentialausdruck bei
Verwendung des Matrizenkalküls.
Anstatt der Definition (A) des § 2 soll jetzt für die Artbe-
ziehung eine neue Definition gegeben werden. Diese bedient sich
nicht der symbolischen Produktbildung von Differentialausdrücken,
sondern des Matrizenkalküls. Ebenso wie die Definition (A) ist
die neue Definition unabhängig von der Integralexistenz.
Definition (AQ. Ein Differentialausdruck
B = bmlZ-}-bm2^-j-bbmm + (^m-
von der Ordnung m^n heißt in der durch einen Diffe-
rentialausdruck
A— , dv , , d^y , d^y i
A = a„ y + a„ - + a., + a,.+, ^ (n
bestimmten Art enthalten, wenn es eine Matrix
Pli
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vom Range m mit Elementen p^ (i -1, 2, . . . m; k - 1, 2,.. ., n)
aus dem Rationalitätsbereiche gibt, so daß die Glei-
chung zwischen quadratischen Matrizen n^ Grades
besteht. Hierbei bedeutet iß' diejenige Matrix, die aus
iß hervorgeht, wenn man in iß alle Elemente p& durch
ihre Differentialquotienten ersetzt; es ist