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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0006
6 (A. 17)
A. Loewy.
Definition (A). Ein Differentialausdruck B heißt in
der durch einen Differentiaiausdruck A bestimmten
Art enthalten, wenn es zwei Differential aus drücke P
und Q gibt, so daß zwischen symbolischen Produkten
von Differentialausdrücken die Gleichung BP = QA
besteht, und, nachdem P und A von einem etwaigen
größten gemeinsamen Teiler befreit sind, der sich aus
A alsdann ergebende Differentialausdruck Ai die gleiche
Ordnung wie B hat. Ist also A* ein größter gemeinsamer
Teiler von P und A, so soll A = AiA*, P = PiA*sein,
wobei Ai und Pi teilerfremd und Ai und B von gleicher
Ordnung sind. Für den besonderen Fall m = n, wo A und B
gegenseitig von derselben Art sind, nimmt die Definition (A)
die Form an: Zwei Differentialausdrücke A und B der
gleichen Ordnung heißen von derselben Art, wenn
es zwei Differentialausdrücke P und Q gibt, so daß
P und A teilerfremd und BP = QA ist.
Daß für den Fall m = n die Definitionen (D) und (A) völlig
äquivalent sind, wenn Integrale existieren, ist bekannt^). Auch
der Nachweis, daß für den Fall m^n die Definitionen (D) und
(A) völlig gleichwertig sind, läßt sich leicht erbringen.
Ist m<n, d. h. ist der Differentialausdruck B dem Diffe-
rentialausdruck A subordiniert, so muß nach Definition (A) der
Differentialausdruck A zerlegbar sein in A = Ai A*, wobei Ai von
der Ordnung m und A* von der Ordnung n—m ist. Hieraus folgt
unmittelbar: Zu einem Differentialausdruck A gibt es
nur dann subordinierte Differentialausdrücke, wenn
Areduzibel ist. In diesem Fall gibt es auch stets zu
A subordinierte Dif'ferentialausdrücke^); ist nämlich
AiA* irgend eine Zerlegung des reduziblen Differential-
ausdruckes A, so stimmen alle dem Differentialaus-
druck A subordinierten Differentialausdrücke überein
mit allen möglichen durch eine Zerlegung von A ge-
lieferten Ai und denjenigen Differentialausdrücken,
b Vgl. meinen Aufsatz ,,Zur Theorie der linearen homogenen Differential-
ausdrücke", Math. Ann. 72, (8. 203 — 210), S. 205 und die schöne Dissertation
von Herrn H. BujMBERG, Über algebraische Eigenschaften von linearen
homogenen Differentialausdrücken, Göttingen 1912, (8. 1 —52), S. 26 und S. 48.
2) Vgl. L. Fucns, Sitzungsberichte der Kgl. Preuß. Akademie 1888,
S. 1276 = Gesammelte math. Werke, Bd. III, Berlin 1909, 8. 18.
A. Loewy.
Definition (A). Ein Differentialausdruck B heißt in
der durch einen Differentiaiausdruck A bestimmten
Art enthalten, wenn es zwei Differential aus drücke P
und Q gibt, so daß zwischen symbolischen Produkten
von Differentialausdrücken die Gleichung BP = QA
besteht, und, nachdem P und A von einem etwaigen
größten gemeinsamen Teiler befreit sind, der sich aus
A alsdann ergebende Differentialausdruck Ai die gleiche
Ordnung wie B hat. Ist also A* ein größter gemeinsamer
Teiler von P und A, so soll A = AiA*, P = PiA*sein,
wobei Ai und Pi teilerfremd und Ai und B von gleicher
Ordnung sind. Für den besonderen Fall m = n, wo A und B
gegenseitig von derselben Art sind, nimmt die Definition (A)
die Form an: Zwei Differentialausdrücke A und B der
gleichen Ordnung heißen von derselben Art, wenn
es zwei Differentialausdrücke P und Q gibt, so daß
P und A teilerfremd und BP = QA ist.
Daß für den Fall m = n die Definitionen (D) und (A) völlig
äquivalent sind, wenn Integrale existieren, ist bekannt^). Auch
der Nachweis, daß für den Fall m^n die Definitionen (D) und
(A) völlig gleichwertig sind, läßt sich leicht erbringen.
Ist m<n, d. h. ist der Differentialausdruck B dem Diffe-
rentialausdruck A subordiniert, so muß nach Definition (A) der
Differentialausdruck A zerlegbar sein in A = Ai A*, wobei Ai von
der Ordnung m und A* von der Ordnung n—m ist. Hieraus folgt
unmittelbar: Zu einem Differentialausdruck A gibt es
nur dann subordinierte Differentialausdrücke, wenn
Areduzibel ist. In diesem Fall gibt es auch stets zu
A subordinierte Dif'ferentialausdrücke^); ist nämlich
AiA* irgend eine Zerlegung des reduziblen Differential-
ausdruckes A, so stimmen alle dem Differentialaus-
druck A subordinierten Differentialausdrücke überein
mit allen möglichen durch eine Zerlegung von A ge-
lieferten Ai und denjenigen Differentialausdrücken,
b Vgl. meinen Aufsatz ,,Zur Theorie der linearen homogenen Differential-
ausdrücke", Math. Ann. 72, (8. 203 — 210), S. 205 und die schöne Dissertation
von Herrn H. BujMBERG, Über algebraische Eigenschaften von linearen
homogenen Differentialausdrücken, Göttingen 1912, (8. 1 —52), S. 26 und S. 48.
2) Vgl. L. Fucns, Sitzungsberichte der Kgl. Preuß. Akademie 1888,
S. 1276 = Gesammelte math. Werke, Bd. III, Berlin 1909, 8. 18.