Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gleichung p + vd + U = 0.

(A. 95) 7

Entweder liegt % in A;
oder a? legt einen zu % relativ-zyklischen Körper
KY%, A) vom Relativgrad 3 und der Relativdiskriminante P
(r N> 0) fest.
3. Genau dieselbe Tatsache beweist man für



R +
*3 + Y



a-j- ^ Y
3 + Y

Nimmt man noch
f ^ \ r-
hinzu, d. h. den kubischen Unterkörper der 9. Einheitswurzeln, so
ist TL p?, A^) ein zu A relativ-zyklischer Körper vom Relativgrad 3,
dessen Relativdiskriminante nur 3 enthält. Bildet man K"= A),
so ist K" ein zu Arelativ-ÄBEi/scher Körper vom Relativ-
grad 3^ (0<f3^<3^), dessen Relativgruppe aus lauter
Substitutionen 3. Grades besteht, und dessen Relativ-
diskriminante nur das Primideal I enthält.
4. Um den Grad von zu bestimmen, nehmen wir an, 3^ sei
kleiner als 3L Dann muh eine Relation existieren:

/3+
', K + ß /


wo ^ eine zu 3 prime Zahl von A' ist, und M, v, ^ irgendwelche der
Zahlen 0, 1, 3 sind. Die Relation kann man schreiben

i +

U-1)

Y
3 -p Y


woraus sofort folgt:
da 3^ die Norm von t in A' ist. Wenn X eine durch 1 teilbare
Zahl von A' bedeutet, so ist somit
= 1 + X, ^3^(1 ^X)W 1 -j-3X + 3A' + = 1 (p);
also:
(t +vvW-i))" 9+ c-p^'Ui + K-ü)' cv
Wir entwickeln links und rechts nach dem binomischen Lehr-
satz und lassen alle durch U teilbaren Glieder weg: