Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Im folgenden stelle ich eine Definition des bestimmten Inte-
grals zur Diskussion, die, wie ich zeigen werde, mindestens so weit-
tragend ist, wie die LEBESGUE sehe. Sie ist aber viel elementarer,
und auch der Nachweis der fundamentalen Gesetze gestaltet sich
viel einfacher. Aus der Theorie der Punktmengen wird gar nichts
vorausgesetzt.
§ 1-
Vorbe merk ungen.
Sei w(^) eine im Intervall stetige reelle Funktion.
Ist dann % ein konstanter, ^ ein variabler Wert dieses Intervalles,
so schwankt die Funktion von ^
w(f) — w(F)
^ — a;
für ^??W==3; zwischen einer oberen und unteren Unbestimmtheits-
grenze, die wir die obere und untere Derivierte von w(a;) nennen
und durch
Dw(a;) , Dw(F)
bezeichnen; die Derivierten können auch +co sein. Im Fall der
Differenzierbarkeit sind beide einander gleich, im übrigen ist die
obere größer als die untere Derivierte. Die sonst übliche Unter-
scheidung der Fälle, daß ^ bloß abnehmend oder bloß zunehmend
gegen a? strebt, die zu vier Derivierten führt (vordere obere, usw.),
ist für unsere Zwecke nicht nötig.
Offenbar ist
D (—w (2)) = — D w(F)
D (a?) -h HL (%)) < D B^ (F) -}- B^ (F)
D (t^ (x) -j- Wg (%)) ^ D B^ (F) + FWg (a;) .
Wir beweisen noch den

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