Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Integralbegriff.

(A. 14) 7

stets eine adjungierte Unterfunktion, mit ^ oder y stets eine
adjungierte Oberfunktion gemeint.
SATZ 1. Wenn /(%) im Intervall (n, d) integrierbar
ist, so ist /(%) auch in jedem Teilintervall (a, von (n, d)
integrierbar.
Sind nämlich 93(2), 9a (a?) im Intervall (%, d) zu /(%) adjungierte
Funktionen, und dabei — so ist nach § 2 ^(%) —93(2)
monoton wachsend, also
0 < 9a (a) — 93 (a) < i/j (jd) — 93 (^d) < 9a (^) — 93 (d) < e .
Die Funktionen
0(F) — 93(33)—93(0)
y(a:) = 93(33)—i/j(a)
sind daher im Intervall (a, /d) zu /(a:) adjungiert, und es ist
y(^) —(P(/d)<^(^)—<p(^)<e .
Damit ist der Satz bewiesen.
SATZ 2. Ist a<d<c, und ist /(%) im Intervall (%, c)
integrierbar, so . gilt die Formel
/(a;)da3 — J*/(a:)da3-F J /(a3)da3 .
Seien 93^(33), 93^(33) im Intervall (n, d), ferner 93g (a:), im
Intervall (d, c) zu /(%) adjungierte Funktionen. Dann definieren
wir zwei Funktionen 0(%), y(a:) in folgender Weise:

1 9^(33)
" I ^i(^) +

für n ^ 33 ^ d
für d ^ a: ^ c
für ^ ^ 33 ^ d
für d ^ 33 ^ c

Offenbar sind 0(33), y(a:) im Intervall (a, c) zu /(a;) adjun-
gierte Funktionen, und es ist
<P(c) = <?i(F) + 9?g(c)
y(c) - ?p^(d) + ^g(c) ,

woraus nach der Definition des bestimmten Integrals die Behaup-
tung folgt.
SATZ 3. Ist /(a:) integrierbar, so ist auch /c/(a:) inte-
grierbar, wenn /c eine Konstante, und es ist
& &
= A: .