Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A. 14)

Oskar Perron:

Wenn nämlich y(^), ^(a?) zu /(%) adjungierte Funktionen sind,
so ist, falls P positiv, k<p(a?) eine zu k/(^) adjungierte Unterfunktion,
A^(a^) eine Oberfunktion; bei negativem k ist umgekehrt P^(a:)
eine Unter-, P<p(a?) eine Oberfunktion.
SATZ 4. Sind /g(a;) integrierbar, so ist auch ihre
Summe und ihre Differenz integrier bar, und es ist
6 & &
J*(^(aä±/g(a:))d2 = /^(a;)da;± ^/g(a:)da: .
Es genügt, den Satz für die Summe zu beweisen, da er sich
dann für die Differenz mit Hilfe von Satz 3 ergibt (für P=—1).
Sind nun <Pi(a:), 4h(%) zu /i(;r) adjungierte Funktionen, ferner
<%(^)' solche zu so ist
D (<?^ (a;) + % (%)) < D ^ (a:) + D ^g (a;) A (3:) + (^)
D(^(3;)-}-^g(^)) A D^^(a:) + D%(a;) ^ /^(a;)h-/g(a:) -
Daher sind die Funktionen
(p (a;) + 4?2 (u) ^ ^ (^) = 4^1 M + 4k
zu (%) + /2M adjungiert, woraus unser Satz folgt. Natürlich läßt
sich der Satz ohne weiteres auf die Summe von beliebig (endlich)
vielen integrierbaren Funktionen ausdehnen.
SATZ 5. Sind /i(^), integrierbare Funktionen,
und ist /i(a:) ^/g(a:), so ist auch
& 6
J /^(a;)da; > J /g(a:)da; .
Nach Satz 4 ist nämlich die Differenz /i(^)—integrier-
bar; außerdem ist sie nie negativ, sodaß <p(a;)=:0 eine zu ihr
adjungierte Unterfunktion sein wird. Daher folgt:
&
^ (/^ (2) — /g (3)) da; A (p (F) = 0 ,
a
und hieraus mit Benutzung von Satz 4:
& &
^ /^(a:)da: A J /g(a:) da: . W. z. b. w.
a a
SATZ 6. Ist /(a:) die Ableitung einer Funktion F(a;),
so ist /(a:) integrierbar, und man hat
&
j /(a:)da: —F(^)— F(%) .