Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Integralbegriff.

(A. 14) 9

Hier ist nämlich
<p(%) — F(a;)—F(a) , 1^(2) = F(a;)—F(a)
ein zu /(%) adjungiertes Funktionenpaar, und dabei

sV) = ^(4) = F(4)-F(.) .
Korollar. Es ist
& & &
^ 0-da: —0 , ^ = & — % .
a a a

SATZ 7. Ist /(%) im Intervall (<z, &) integrierbar, so ist
y
U(y) = J
eine für stetige Funktion von?/, diefür^m?/^^
dem Grenzwert Null zustrebt. An jeder Stelle ?/, wo /(y)
stetig ist, hat U(?/) einen Differentialquotienten, und
zwar ist A'(?/) = /(?/). Im übrigen gelten, wenn nz ^ /(a?) ^ 717
ist, für die Derivierten von F(?/) die Ungleichungen

m A DF(y) < DF(y) < # .
Wenn nämlich y (^), ^(1?) im Intervall (%, 7) zu /(%) adjungicrte
Funktionen sind, so sind sie es auch im Intervall (%, ?/), und es ist
demnach
<p(?/) A F(?/) < ?/?(?/) ,
woraus zunächst folgt, daß U(?/) für ?/ = % dem Grenzwert Null
zustrebt.
In einem Teilintervall (?q, 2/2) sind<p(^) —^(?/J und?/?(3?) —^(?/i)
adjungierte Funktionen; daher

ys
yi

= ü (^3) " ^ (!/i)

woraus die Stetigkeit von U(y) folgt.
Ist /(%) an einer Stelle % = ?/ stetig, so gelten, wie klein auch
eine positive Zahl g vorgegeben sei, die Ungleichungen
/(y)—e < /(x) < /(y) + g für ^ A x < yg ,

falls nur 2/1 — ?/ und lyg—?/] genügend klein. Daher ist
^ J = (/G)+^)(y2—yi)


y.

) ^ (U?d-E)(?/2-i/i)

also in der Tat F'(?/) = / (?/).