Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Integralbegriff.

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ist. Denn zu p(a;) = l kann man als adjungierte Funktionen
speziell <p(;r)=igG) = 2; —a wählen; alsdann sind aber 0(&), !P(^)
in unserem Beweis genau die Summen, als deren gemeinsamer
Grenzwert das RiEMANNSche Integral definiert von wird.
Daß unsere Theorie aber über die RiEMANNSche hinausgeht,
zeigt Satz 6, da ja im RiEMANN sehen Sinne bekanntlich nicht
jede beschränkte derivierte Funktion integrierbar ist. Wir wollen
jetzt noch zeigen, daß unsere Theorie sogar mindestens so weit
geht, wie die LEBESGUEsehe, indem wir folgenden Satz beweisen:
Wenn eine Funktion /(%) im LEBESGUESchen Sinne
integrierbar ist, so ist sie auch in unserem Sinne inte-
grierbar, und das LEBESGUESche Integral ist gleich dem
unseren.
Effektiv, wenn auch natürlich in anderer Formulierung, hat
diesen Satz bereits Herr DE LA VALLEE PoussiN bewiesen^. Das
Folgende ist im Prinzip eine Reproduktion seines Gedanken-
ganges.
Das LEBESGUESche Integral von /(%) werde durch
&
/(p) da:
bezeichnet. Ist
g < /(p) < C ,
so schalten wir in das Intervall (g, G) Zwischenwerte ein:
g = -
Die Menge der Werte 3?, für welche
g, g < ?,+,
ist, sei E,. Da das LEBESGUESche Integral existiert, ist sie meßbar;
ihr Maß sei L,. Dann ist
Lp -ß -p - - - -p = & a.
Ferner nach der Definition des LEBESGUESchen Integrals:

H—1 &


wo 6 eine beliebig kleine positive Zahl sein darf, wenn nur die
Intervalle (g,-, g^P klein genug gewählt sind.
i DE LA VALLEE PoussiN: Gours d'analyse infinitesimale, tome I.
gtdme editier!, 8. 270 f.