Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Rrenzübergänge, die mit den Naschen eines Kmvennetzes anf einer
krummen Fläche verknüpft sind
Bei den Untersuchungen über die Krümmung der Flächen
hat man zuerst die Eigenschaften der räumlichen Gebilde auf
Eigenschaften ebener Gebilde zurückzuführen versucht und zu
diesem Zwecke die Krümmung ebener, schiefer und normaler,
Schnitte der Fläche betrachtet. Auf dieser Grundlage weiter-
bauend gelangte man schließlich zu dem Strahlenbündel, das die
Normalen der Fläche in der Umgebung eines Punktes bilden,
und so ist es gekommen, daß in der klassischen Krümmungslehre
die gerade Linie die Rolle des Grundelementes im Raume spielt.
Daß man mit gleichem Recht auch den Punkt oder, in dua-
listischer Auffassung, die Ebene zugrunde legen kann, scheint
bisher nirgends mit voller Deutlichkeit ausgesprochen und in
voller Allgemeinheit durchgeführt worden zu sein, vielleicht,
weil dieser -Weg umständliche Rechnungen erfordert. -Wenn man
jedoch die analytischen Schwierigkeiten überwindet, so ergeben
sich überraschend einfache Sätze; man gelangt zu bemerkens-
werten neuen Erklärungen der Krümmungslinien und der Haupt-
krümmungshalbmesser und findet Gattungen krummer Flächen,
die an Schönheit ihrer Eigenschaften wohl mit den aus der
klassischen Krümmungslehre entsprungenen Flächenklassen wett-
eifern können.
Um die Fragestellung genau festzulegen, mögen einige Be-
merkungen allgemeinerer Art vorausgeschickt werden.
Wenn man sich bei der Darstellung einer krummen Fläche
mittels GAUSS^cAer n, f auf die Umgebung eines
Punktes beschränkt, der in Bezug auf die Fläche und die gewähl-
ten Koordinaten regulär ist, so hat die der Koordi-
natenlinien die Eigenschaft, das betrachtete Flächenstück zwei-
fach zu bedecken; durch jeden seiner Punkte geht je eine Kurve
der ersten und eine der zweiten Schar.

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