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https://doi.org/10.11588/diglit.34635#0004
4 (A. 3)
Paul Stäckel:
Wird ein Punkt P (n, u) im Innern des Flächenstückes zum
Ausgangspunkt genommen, so biiden die Kurven, auf denen die
GAUsssehen Koordinaten einerseits die konstanten Werte
77, M + A, M + 2 A, M ± 3 A, - - -, H ± 7% A,
andererseits die konstanten Werte
u, + A, u ± 2A, ^ + 3 A, - - -, u + 77A
besitzen, ein die Umgebung des Punktes P bedeckendes Xnrce??-
77e^z, vorausgesetzt, daß die von Null verschiedenen Größen A, A
und die positiven ganzen Zahlen 7%, 7?. hinreichend klein gewählt
sind, das heißt so klein, daß man in der Umgebung des Punktes
P bleibt.
Man kann den Begriff des Kurvennetzes verallgemeinern,
indem man monotone Folgen von Werten Mi, Mg, Mg, . . . und
^2) ^3! - - - benutzt, jedoch ist dies für die folgende Unter-
suchung nicht nötig. Von wesentlicher Bedeutung ist dagegen,
daß scharf unterschieden wird zwischen dem Begriff der Doppel-
schar (M, u), welche die Gesamtheit der Kurven M = const. und
u = const. umfaßt, und den zu einer solchen Doppelschar gehören-
den Kurvemmtzen, bei denen aus dem Wertevorrat der Veränder-
lichen M, u monotone Folgen Mi, Mg, Mg, ... und Ui, Ug, Ug, ... heraus-
gegriffen werden; denn zahlreiche Sätze aus der Lehre von den
krummen Flächen lassen sich ohne diese Unterscheidung nicht
auf eine befriedigende Form bringen.
Durch ein Kurvennetz wird das Flächenstück in viereckige
AAM^cAeM geteilt, zu deren Grenzkurven Werte von M und u
gehören, die sich je um den Betrag A und A unterscheiden. Von
den vier im Punkte P zusammenstoßenden Maschen soll die
Masche PPiPgPg bevorzugt werden, deren Eckpunkte P, P^
Pg, P3 der Reihe nach die Koordinaten
M, u; M + A, u; M, u + A; M + A, u + A
aufweisen.
Je nach der Wahl der Größen A und A erhält man verschie-
dene aus der Doppelschar (M, u) entspringende Kurvennetze. In
vielen Fällen ist es nützlich, A und A geradezu als veränderliche
Größen anzusehen. Zu diesem Zwecke setze man etwa
(l) A = A'b A = AG;
A' und A' bedeuten von Null verschiedene Konstanten, % ist eine
Paul Stäckel:
Wird ein Punkt P (n, u) im Innern des Flächenstückes zum
Ausgangspunkt genommen, so biiden die Kurven, auf denen die
GAUsssehen Koordinaten einerseits die konstanten Werte
77, M + A, M + 2 A, M ± 3 A, - - -, H ± 7% A,
andererseits die konstanten Werte
u, + A, u ± 2A, ^ + 3 A, - - -, u + 77A
besitzen, ein die Umgebung des Punktes P bedeckendes Xnrce??-
77e^z, vorausgesetzt, daß die von Null verschiedenen Größen A, A
und die positiven ganzen Zahlen 7%, 7?. hinreichend klein gewählt
sind, das heißt so klein, daß man in der Umgebung des Punktes
P bleibt.
Man kann den Begriff des Kurvennetzes verallgemeinern,
indem man monotone Folgen von Werten Mi, Mg, Mg, . . . und
^2) ^3! - - - benutzt, jedoch ist dies für die folgende Unter-
suchung nicht nötig. Von wesentlicher Bedeutung ist dagegen,
daß scharf unterschieden wird zwischen dem Begriff der Doppel-
schar (M, u), welche die Gesamtheit der Kurven M = const. und
u = const. umfaßt, und den zu einer solchen Doppelschar gehören-
den Kurvemmtzen, bei denen aus dem Wertevorrat der Veränder-
lichen M, u monotone Folgen Mi, Mg, Mg, ... und Ui, Ug, Ug, ... heraus-
gegriffen werden; denn zahlreiche Sätze aus der Lehre von den
krummen Flächen lassen sich ohne diese Unterscheidung nicht
auf eine befriedigende Form bringen.
Durch ein Kurvennetz wird das Flächenstück in viereckige
AAM^cAeM geteilt, zu deren Grenzkurven Werte von M und u
gehören, die sich je um den Betrag A und A unterscheiden. Von
den vier im Punkte P zusammenstoßenden Maschen soll die
Masche PPiPgPg bevorzugt werden, deren Eckpunkte P, P^
Pg, P3 der Reihe nach die Koordinaten
M, u; M + A, u; M, u + A; M + A, u + A
aufweisen.
Je nach der Wahl der Größen A und A erhält man verschie-
dene aus der Doppelschar (M, u) entspringende Kurvennetze. In
vielen Fällen ist es nützlich, A und A geradezu als veränderliche
Größen anzusehen. Zu diesem Zwecke setze man etwa
(l) A = A'b A = AG;
A' und A' bedeuten von Null verschiedene Konstanten, % ist eine