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https://doi.org/10.11588/diglit.34635#0005
Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen.
(A. 3) 5
veränderliche Größe, die hinreichend klein bleiben muß. Die auf
diese Art entstehenden Kurvennetze werden jeweils durch den
Wert des Verhältnisses
(2) V : U = X
gekennzeichnet.
Läßt man im besonderen die Veränderliche i( gegen Null
gehen, so ergibt sich eine Folge von Netzen, bei denen die Maschen
PP1P2P3 immer kleiner werden und den Punkt P zur Grenze
haben. Bei dem Grenzübergang zum Werte Null von % wird aus
der Ebene PPiPo die berührende Ebene der Fläche im Punkte P
und aus der Geraden PPg eine berührende Gerade, deren Richtung
durch den Wert von X bestimmt wird. Wenn X alle endlichen,
von Null verschiedenen Werte durchläuft, so ergeben sich alle Tan-
genten der Fläche im Punkte P, abgesehen von den Tangenten
an die Koordinatenlinien. Um diese Ausnahme zu beseitigen, emp-
fiehlt es sich nicht selten, auch die Werte Null und Unendlich
von X zuzulassen; man darf jedoch nicht vergessen, daß ihnen
keine Maschen eines Kurvennetzes entsprechen.
Der zu dem Werte Null von ^ ist nur der
erste Schritt, der von der UeonzePue der PpMcAe7z zur so-
genannten Di//ere7zp6dge07%ePve der Uwzzzzzzezz P^dc/ze/z führt.
Der zweite, wichtigere Schritt besteht darin, daß man von
dem vorgelegten krummen Gebilde absieht, also an Stelle
der Masche das Nz/^ezzz der Ger Pzzzz/c^e P, P^, Pa, P3 be-
trachtet. Indem man die geometrischen Gebilde und Größen,
die durch ein solches System von vier Punkten bestimmt werden,
dem Grenzübergang unterwirft, der von der Masche zum Punkte
führt, gewinnt man Grenzgebilde und Grenzwerte, die geeignet
sind, das Verhalten der krummen Fläche im Punkte P zu be-
schreiben.
ln der Verkennung des soeben dargelegten Sachverhalts hegt
eine Quelle für zahlreiche Mängel, mit denen die Differential-
geometrie der krummen Flächen behaftet ist; solange man noch
mit ,,unendhchkleinen" Kurven- und Flächenelementen arbeitet,
wird niemals man aus den Unklarheiten herauskommen.
Bei der Auswahl der zu einem System von vier Punkten ge-
hörigen geometrischen Gebilde und Größen läßt sich eine gewisse
Willkür nicht vermeiden. Jedenfalls wird man gut tun, zunächst
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veränderliche Größe, die hinreichend klein bleiben muß. Die auf
diese Art entstehenden Kurvennetze werden jeweils durch den
Wert des Verhältnisses
(2) V : U = X
gekennzeichnet.
Läßt man im besonderen die Veränderliche i( gegen Null
gehen, so ergibt sich eine Folge von Netzen, bei denen die Maschen
PP1P2P3 immer kleiner werden und den Punkt P zur Grenze
haben. Bei dem Grenzübergang zum Werte Null von % wird aus
der Ebene PPiPo die berührende Ebene der Fläche im Punkte P
und aus der Geraden PPg eine berührende Gerade, deren Richtung
durch den Wert von X bestimmt wird. Wenn X alle endlichen,
von Null verschiedenen Werte durchläuft, so ergeben sich alle Tan-
genten der Fläche im Punkte P, abgesehen von den Tangenten
an die Koordinatenlinien. Um diese Ausnahme zu beseitigen, emp-
fiehlt es sich nicht selten, auch die Werte Null und Unendlich
von X zuzulassen; man darf jedoch nicht vergessen, daß ihnen
keine Maschen eines Kurvennetzes entsprechen.
Der zu dem Werte Null von ^ ist nur der
erste Schritt, der von der UeonzePue der PpMcAe7z zur so-
genannten Di//ere7zp6dge07%ePve der Uwzzzzzzezz P^dc/ze/z führt.
Der zweite, wichtigere Schritt besteht darin, daß man von
dem vorgelegten krummen Gebilde absieht, also an Stelle
der Masche das Nz/^ezzz der Ger Pzzzz/c^e P, P^, Pa, P3 be-
trachtet. Indem man die geometrischen Gebilde und Größen,
die durch ein solches System von vier Punkten bestimmt werden,
dem Grenzübergang unterwirft, der von der Masche zum Punkte
führt, gewinnt man Grenzgebilde und Grenzwerte, die geeignet
sind, das Verhalten der krummen Fläche im Punkte P zu be-
schreiben.
ln der Verkennung des soeben dargelegten Sachverhalts hegt
eine Quelle für zahlreiche Mängel, mit denen die Differential-
geometrie der krummen Flächen behaftet ist; solange man noch
mit ,,unendhchkleinen" Kurven- und Flächenelementen arbeitet,
wird niemals man aus den Unklarheiten herauskommen.
Bei der Auswahl der zu einem System von vier Punkten ge-
hörigen geometrischen Gebilde und Größen läßt sich eine gewisse
Willkür nicht vermeiden. Jedenfalls wird man gut tun, zunächst