Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Paul Stäckel;

solche Gebilde und Größen zu untersuchen, die in möglichst ein-
facher Weise erklärt sind.
Eine solche Größe ist der Rauminhalt des zu einem System
von vier Punkten gehörigen Vierflachs. Mit diesem Rauminhalt
hat sich bereits A. Voss*- beschäftigt und ist zu wichtigen Ergeb-
nissen gelangt.
Wird der Rauminhalt des Vierflachs PPiPgPg durch die
zweite Potenz der Fläche des Parallelogramms geteilt, das durch
die Punkte P, Fh, Pg bestimmt ist, so hat, wie Voss zeigt, der
Quotient im allgemeinen einen bestimmten, von A unabhängigen
Grenzwert, der wesentlich von der Reschaffenheit der gewählten
Doppelschar (%, &) abhängt und über das Verhalten der Fläche
für den Punkt P keinen unmittelbaren Aufschluß gewährt. Sind
jedoch die beiden Scharen der Koordinatenlinien zu einander
Ami/uyierp so ist der Grenzwert jenes Quotienten beständig
gleich Null. Wenn man aber den Quotienten durch das Quadrat
der Länge der Strecke PP3 teilt, so ergibt sich ein neuer Grenz-
wert, der nun im allgemeinen von A abhängt. Je nach der Wahl
der konjugierten Doppelschar wird der Wert der so erklärten
der F/üc/ze für eine Tangente im Punkte P
verschieden ausfallen. Es gibt aber ausgezeichnete konjugierte
Doppelscharen, bei denen die zu einer Flächentangente gehörige
Parameterkrümmung, bis auf einen von den Koordinaten n, n
abhängigen Faktor, mit der entsprechenden Normalkrümmung
übereinstimmt. Eine besondere Untersuchung erfordern die
Flächen des Krümmungsmaßes Null und die Flächen, bei denen
eine von zwei gewissen Invarianten verschwindet oder beide gleich
Null sind. Von besonderer Bedeutung ist der letzte Fall. Er tritt
dann und nur dann ein, wenn bei einer P-Fläche als Doppelschar
das System der beiden Scharen der erzeugenden konjugierten
konischen Kurven gewählt wird; Kurven auf einer Fläche heißen
nach K. PETERsoN, dem man die Einführung der P-Flächen
verdankt, konisch, wenn die zugehörigen Tangentialebenen der
Fläche einen Kegelmantel umhüllenA Bei den P-Flächen ist der
Rauminhalt der Vierflache, die zu den Maschen irgend eines Netzes
der erzeugenden Doppelschar gehören, stets gleich Null, und die
vier Eckpunkte jeder solchen Masche hegen in einer Ebene.
1 A. Voss, Zur TAeoAe der ArdmwMug der AddcAen, Mathematische
Annalen, Bd. 39, 1891, S. 179—256.
2 K. PETERSON, Eher AAreen und AAcAe/7, Moskau u. Leipzig 1868, S. 17.