Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A.l)

OSKAR PERRON:

linien der längs der negativen reellen Achse angeschnittenen z-
Ebene unterschieden werden. Es ist
mit reellem Logarithmus. Tritt ein Ausdruck z^ unter einem Inte-
gral auf, so kann es Vorkommen, daß z^* bei stetiger Fortsetzung
nicht auf dem ganzen Integrationsweg die Bedeutung des Haupt-
wertes hat. In solchen Fällen muß stets wenigstens ein Punkt des
Integrationswegs angegeben werden, wo z- den Hauptwert bedeu-
ten soll.
Bekanntlich ist

(2.)

E(a,^,}';x)= , , 0" '(t-p " '(I-2;)
7(a)fp-a).'
für 91(n)>0, 91(y—a)>0

Dabei ist der Integrationsweg geradlinig; nur, wenn 3;=^ reell und
größer als 1 ist, muß er dem Punkt j in einem kleinen Bogen aus-
weichen, und zwar für 2 = ^ + in der oberen, für = in der
unteren Halbebene.
Für kleinere Werte von 91 (n) und 9!(y—o) kann man die F-
Funktion mit Hilfe der Bekursionsformeln

PA

(3.) F(.^,,.;2) = F(.,^+l,y+l;2)- '^^2F(.+l,^+l,y+2;2),


(4.) F(a,/i,y;2)=F(a + l,^,y + l;2)-^y^2F(a + l,^+l,y+2;2)

berechnen; diese beweist man, indem man für die F-Funktionen
die Leihen setzt, zunächst in deren Konvergenzgebiet, also für
[xjcl; sie müssen aber dann bei analytischer Fortsetzung in der
ganzen aufgeschnittenen ;r-Ebene bestehen bleiben.
Man kann sich von der Beschränkung 91(n)>0, 91(y-n)>0
auch dadurch freimachen, daß man an Stelle des Integrals in (2.)