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https://doi.org/10.11588/diglit.36386#0013
Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter, it.
(A. 1) 5
ein PocHHAMMERsches Doppelumlaufintegral setzt. Für unsere
Zwecke ist es bequemer, ein einfaches Schleifenintegra! zu betrach-
ten. Sei N in der ^-Ebene eine Schleife, die vom Nullpunkt aus-
gehend zunächst der positiven reellen Achse folgt, dann den Punkt 1
in positivem Sinne einmal umkreist, während der Punkt j- außer-
halb bleibt, und schließlich zum Nullpunkt zurückkehrt. Ist ^>1,
so muß die Schleife für % = beidemal über, für 3; = ^—Oi beide-
mal unter dem Punkt ^ vorbeiführen. Offenbar ist für 9r(a)>0,
a) >0
1 1
^ ^e"'^"""^.2isin7r(p- n)- ,
so 6
wo als Integrand der gleiche wie in (2.) zu denken ist. Jedoch
wollen wir in dem Integral über die Schleife N statt
lieber schreiben:
wobei dann die Potenz von %—I im Schnittpunkt der Schleife mit
der Strecke (l,cc) den Hauptwert hat, während die übrigen Poten-
zen zumindest im Anfang der Schleife den Hauptwert bedeuten.
Aus (2.) ergibt sich daher bei Berücksichtigung der Formel
F(y--a) - sinyr(y —a)
7E
die folgende Darstellung für die F-Funktion:
(5.)
F(a,^,y;p
f(y)F(l-y+a)
2uu'F(a)
In Formel (5.) muß iR(a)>0 sein, während die weitere Be-
dingung iR(y—a)>0 sich nachträglich dahin abändern läßt, daß
y—<2 keine positive ganze Zahl sein darf. Das erkennt man für
)a;}<:l, indem man beide Seiten nach Potenzen von 3? entwickelt,
(A. 1) 5
ein PocHHAMMERsches Doppelumlaufintegral setzt. Für unsere
Zwecke ist es bequemer, ein einfaches Schleifenintegra! zu betrach-
ten. Sei N in der ^-Ebene eine Schleife, die vom Nullpunkt aus-
gehend zunächst der positiven reellen Achse folgt, dann den Punkt 1
in positivem Sinne einmal umkreist, während der Punkt j- außer-
halb bleibt, und schließlich zum Nullpunkt zurückkehrt. Ist ^>1,
so muß die Schleife für % = beidemal über, für 3; = ^—Oi beide-
mal unter dem Punkt ^ vorbeiführen. Offenbar ist für 9r(a)>0,
a) >0
1 1
^ ^e"'^"""^.2isin7r(p- n)- ,
so 6
wo als Integrand der gleiche wie in (2.) zu denken ist. Jedoch
wollen wir in dem Integral über die Schleife N statt
lieber schreiben:
wobei dann die Potenz von %—I im Schnittpunkt der Schleife mit
der Strecke (l,cc) den Hauptwert hat, während die übrigen Poten-
zen zumindest im Anfang der Schleife den Hauptwert bedeuten.
Aus (2.) ergibt sich daher bei Berücksichtigung der Formel
F(y--a) - sinyr(y —a)
7E
die folgende Darstellung für die F-Funktion:
(5.)
F(a,^,y;p
f(y)F(l-y+a)
2uu'F(a)
In Formel (5.) muß iR(a)>0 sein, während die weitere Be-
dingung iR(y—a)>0 sich nachträglich dahin abändern läßt, daß
y—<2 keine positive ganze Zahl sein darf. Das erkennt man für
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