Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter. II. (A. 1)

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Nun stellt die Kurvenschar
{(1 u ) (1 .r u) ] ^ f'
in der u-Ebene eine Schar von Lemniskaten (CASSiNi^chen Kurven)
dar mit den Brennpunkten M =1 und n = . Die durch den Punkt
u = 0 gehende Lemniskate der Schar entsteht für 0 = 1; die Lem-
niskate mit Doppelpunkt, der dann an der Stelle liegen
muß, entsteht für

0

/ 1
/ 1+äD
h u
\ 2.z /
\ 2 /

k-;r
4 G[

Die durch den Nullpunkt gehende Lemniskate besteht also aus
1
einem Zug oder aus zwei Ovalen um die Punkte I und ^ oder
hat die Achterform, je nachdem

t—3W

< 1 oder > 1 oder = i

ist.

Wir behandeln zuerst den Fall
1L-ur ]*

4 hr


sodaß die Lemniskate durch den Nullpunkt, deren Gleichung
} (t—u) (I—zn) ] = 1
ist, aus einem Zug besteht. In diesem
Fall läßt sich der geradlinige Integrations-
wegi) von 0 bis 1 durch einen ganz im
Innern der Lemniskate verlaufenden Weg
ersetzen, und zwar wollen wir das in fol-
gender Weise bewerkstelligen (siehe Fig.2).
Wir gehen zuerst auf der Lemniskaten-
i) der übrigens, wenn 2 reell und >1 ist, die in § 1 erwähnte Ausbuch-
tung aufweist.