Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

36 (A. 1)

OSKAR PERRON:

Hieraus fließen, indem man alles nach fallenden Potenzen
von 72. entwickelt, für die gewisse Funktionalgleichungen, deren
erste z. B. lautet :
Ü = 0^ (u -t-1, /?, y A3') A3:0Q(ctAl,^iAl,yA2^3:) .
Da diese Funktionalgleichungen also für 9t(n)>0 gelten, so folgt
durch analytische Fortsetzung, daß sie auch ohne diese Einschrän-
kung bestehen. Das heißt aber, die asymptotische Formel (36.)
gilt auch ohne die Einschränkung 91(u)>0; oder mit andern Wor-
ten: Die rechte Seite der Formel (35.) genügt ohne Einschränkung
der Funktionalgleichung (34.). Da das gleiche von der linken
Seite der Formel (35.) gilt, so schließt man, daß in dieser Formel
die Einschränkung 9i(a)>0 überflüssig ist. Ebenso ist sie also
in der mit (35.) völlig gleichbedeutenden Formel (28.) überflüssig.
Ganz die gleiche Schlußweise läßt sich auch auf die andern
asymptotischen Reihen dieses Paragraphen anwenden.

§ 7.
Wir behandeln jetzt die Funktion F(a,^ + 72,y —72;3?). Indem
wir zunächst wieder 9t(n)>0 voraussetzen, bedienen wir uns der
in § 1 gegebenen Darstellung

(37.)

F(a,/5 + 7?.,y —7g3;)

F(y—72)F (l—y + 72 + a)

,yr2.


x/n" ^(M—1)^ " ^(1 3m) 3:22)] "2D2

Dabei hängt wieder alles von der gleichen Lemniskatenschar ab
wie in § 6. An erster Stelle behandeln wir wieder den Fall

Dann liegt der Nullpunkt außerhalb der achterförmigen Lem-
niskate, deren Gleichung