Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter, ii.

(A. 1) 43

Beitrag, der durch die rechte Seite der Formel (40.) bezw. (41.)
dargestellt wird. Hiernach ist in den Formeln (47.) bis (50.) auf
der rechten Seite lediglich noch die rechte Seite von (40.) oder (41)
hinzuzuzählen, um für beliebig wachsendes 7? ausnahmslos gültige
Formeln zu erhalten.
Endlich kommen wir zum Fall
] l—:r}"
- A , = 1 -
4 )^j
Dabei hat die durch den Nullpunkt gehende Lemniskate die
Achterform, und der Integrationsweg N kann in folgender Weise
gewählt werden. Zuerst ein Stück von der Länge e auf der äuße-
ren Normalen, sodann um die den Punkt 1 einschließende Achter-
schleife herum und durch den Doppelpunkt des Achters, wobei
für ]^[ <1 auch der Nullpunkt umkreist wird, für j^j >1 aber nicht,
endlich auf der Normalen zurück. Daraus schließt man, daß jetzt
unsere beiden Betrachtungen zu kombinieren sind; es muß also
die rechte Seite von (40.) oder (41.) für [^]<1 zur rechten Seite
von (47.) bezw. (48.) addiert werden, für ]^]>1 dagegen zur rech-
ten Seite von (49.) bezw. (50.).
Wenn aber der Nullpunkt im Doppelpunkt des Achters liegt,
d. h. für 3; =—1 ist anders zu verfahren. Wir setzen dann den Inte-
grationsweg wiederum aus drei Stücken zusammen, und zwar:
Erstes Stück geradlinig vom Nullpunkt nach — W
Zweites Stück Q um die den Punkt 1 einschließende Achter-
schleife herum nach +is.
Drittes Stück Dg von geradlinig zum Nullpunkt zurück.
Auf 65 ist das Minimum von [(n—1)(1—%n)] wieder größer
als 1, etwa , . Daher ist
1 — 0
^ M"-'(M-l)^-"-'(l-t-n)-^ [(M-l)(l+M)]'"dM
Ci C, C3 C, C3
Für das Integral über findet man, wenn M =—D gesetzt
wird: