Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

58 (A. 1)

OSKAR PERRON:

§10.

Wir sind jetzt in der Lage, die Funktion F(a + n,^+iz,y;^)
zu behandeln. Dabei gehen wir aus von der Formel (5.) des § 1:

(68.)

2zDF (a+7r)

F(a + n, ^5+ ir, y; 3:)

F (y)F(l—y+a + 7z)

(„-!)(!-


du .

Diese zeigt, daß es darauf ankommen wird, den Integrationsweg
— l) fl —
N so zu wählen, daß das Minimum der Funktion . ^ -
M
möglichst groß wird. Dazu betrachten wir in der u-Ebene die
folgende Schar von Kurven vierter Ordnung:

yr — 1) (1 —3? u)

F.

Eine solche Kurve besteht, wenn die positive Konstante F
sehr klein ist, aus zwei getrennten Ovalen um die Punkte 1 und
^ , wobei der Punkt 0 stets außerhalb bleibt. Läßt man F wach-
se
sen, so erreicht man einen Wert F=F^, bei welchem die Ovale zu
einer (achterförmigen) Kurve mit Doppelpunkt zusammenfließen.
Ist dagegen F sehr groß, so besteht die Kurve aus zwei in-
einander liegenden Ovalen, deren eines den Nullpunkt einschließt,
1
aber die Punkte 1 und außerhalb läßt, während das andere alle
a;
1
drei Punkte 0,1, umschließt. Läßt man F abnehmen, so er-
a;
reicht man einen Wert F=F^, bei welchem die beiden Ovalen in
eine Kurve mit Doppelpunkt zusammenfließen (von der ungefähren
Gestalt einer PASCALSC.hen Schnecke).
Für Fi<F<Fg endlich besteht die Kurve aus nur einem
Zug. Es kann aber auch Vorkommen, wie wir sehen werden, daß
Fi= Fa ist, sodaß für F-=F^ = Fg die beiden Doppelpunkte zugleich
auftreten. Die Schar enthält dann keine Kurven, die nur aus
einem Zug bestehen.